逍遥学能 2015-02-28 18:29
2014届高三一轮“双基突破训练”（详细解析+方法点拨） (4)
一、
1．若f(x)＝1x的定义域为，g(x)＝x的值域为N，令全集I＝R，则∩N＝( )
A． B．N
C．∁I D．∁IN
【答案】A
【解析】由题意知：1x>0⇒x>0，N：x≥0，所以∩N＝.故选择A.
2．已知函数y＝f(x)(a≤x≤b)，则集合{(x，y)y＝f(x)，a≤x≤b}∩{(x，y)x＝0}中含有元素的个数为( )
A．0 B．1或0
C．1 D．1或2
【答案】B
【解析】＝{(x，y)y＝f(x)，a≤x≤b}表示y＝f(x)在x∈[a，b]时的图像，N＝{(x，y)x＝0}表示y轴，根据函数的定义，至多有一个交点．故选择B.
3．用in{a，b}表示a，b两数中的最小值．若函数f(x)＝in{x，x＋t}的图像关于直线x＝－12对称，则t的值为( )
A．－2 B．2
C．－1 D．1
【答案】D
【解析】方法1：由图像关于直线x＝－12对称得，
－12＝－12＋t，解得t＝0或t＝1，
当t＝0时，f(x)＝x，不符合题意，故t＝1，选D.
方法2：验证答案，将四个答案分别代入题中，通过数形结合，作出函数y＝x与y＝x＋t的图像，得出函数f(x)的图像，然后由对称性排除A，B，C，故选D.
4．已知U＝{yy＝log2x，x>1}，P＝yy＝1x，x>2，则∁UP＝( )
A.12，＋∞ B.0，12
C．(0，＋∞) D．(－∞，0)∪12，＋∞
【答案】A
【解析】因为函数y＝log2x在定义域内为增函数，
故U＝{yy>0}，
函数y＝1x在(0，＋∞)内为减函数，
故集合P＝y0<y<12，
所以∁UP＝yy≥12.
故选择A.
二、题
5．已知f(x)＝3([x]＋3)2－2，其中[x]表示不超过x的最大整数，如[3.1]＝3，则f(－3.5)＝ .
【答案】1
【解析】∵[－3.5]＝－4，∴f(－3.5)＝3(－4＋3)2－2＝1.
6．已知函数f(x＋1)的定义域为[－2,3]，函数f1x＋2的定义域为 .
【答案】－∞，－13∪12，＋∞.
【解析】由题设条件知：－2≤x≤3，∴－1≤x＋1≤4，
因此，－1≤1x＋2≤4，解得x≤－13或x≥12.
7．已知函数f(x)，g(x)分别由下表给出
x123
f(x)131
x123
g(x)321
则f[g(1)]的值为 ；满足f[g(x)]>g[f(x)]的x的值是 .
【答案】1,2
【解析】g(1)＝3，f(3)＝1，∴f[g(1)]＝1.
x＝1时，f[g(1)]＝1，g[f(1)]＝g(1)＝3，不符合题意．
x＝2时，f[g(2)]＝f(2)＝3，g[f(2)]＝g(3)＝1，符合题意．
x＝3时，f[g(3)]＝f(1)＝1，g[f(3)]＝g(1)＝3，不符合题意．
8．在实数的原有运算法则中，我们补充定义新运算“ ”如下：当a≥b时，a b＝a；当a<b时，a b＝b2.
则函数f(x)＝(1 x)•x－(2 x)(x∈[－2,2])的最大值等于 .(“•”和“－”仍为通常的和减法)
【答案】6
【解析】当x∈[－2,1]时，f(x)＝1•x－22
＝x－4，f(x)ax＝－3；
当x∈(1,2]时，f(x)＝x2•x－2＝x3－2，f(x)ax＝6.
三、解答题
9．已知扇形的周长为10，求此扇形的半径r与面积S的函数关系及其定义域．
【解析】设扇形的弧长为L，则有L＝10－2r，
得S＝12Lr＝(5－r)•r＝－r2＋5r，
又r>0，0<L<2πr，⇒r>0，0<10－2r<2πr，⇒5π＋1<r<5.
∴所求函数的解析式为S＝－r2＋5r，其定义域为5π＋1，5.
10．已知函数y＝f(x)的定义域A＝{1,2,3，k}，值域B＝{4,7，a4，a2＋3a}(a，k∈N)，对应法则“f：x→y＝3x＋1”(x∈A，y∈B)，能否求出a、k的值，是否可以确定集合A、B.
【解析】因为A中的元素1与2的象已经确定，所以首先应确定3的象，求出a值，最后再求k.
∵f：x→y＝3x＋1，
∴A中的元素1与2的象分别是4和7.
设A中元素3的象是a4，则：a4＝3×3＋1＝10，
∵a∈N，∴此时a不存在．
设3的象是a2＋3a，则有a2＋3a＝3×3＋1＝10，
即a2＋3a－10＝0，解得 a＝2，a＝－5∉N(舍去)，
当a＝2时，k的象即为a4，即 a4＝3k＋1,16＝3k＋1，∴k＝5.
∴a＝2，k＝5，A＝{1,2,3,5}，B＝{4,7,16,10}．
11．已知函数φ(x)＝f(x)＋g(x)，其中f(x)是x的正比例函数，g(x)是x的反比例函数，且φ13＝16，φ(1)＝8.
(1)求φ(x)的解析式，并指出定义域；
(2)求φ(x)的值域．
【解析】(1)设f(x)＝ax，g(x)＝bx，a、b为比例常数，
则φ(x)＝f(x)＋g(x)＝ax＋bx，
由φ13＝16，φ1＝8.得13a＋3b＝16，a＋b＝8.解得a＝3，b＝5.
∴φ(x)＝3x＋5x其定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)．
(2)由y＝3x＋5x，得3x2－yx＋5＝0(x≠0)．
∵x∈R且x≠0，∴Δ＝y2－60≥0，
∴y≥215或y≤－215，
∴φ(x)的值域为(－∞，－215]∪[215，＋∞)．
12．在边长为4的正方形ABCD的边上有一动点E，如图所示，沿折线BCDA由起点B向终点A移动，设点E移动的路程为x，△ABE的面积为y.(1)求函数y＝f(x)的解析式；
(2)作出函数y＝f(x)的图像．
【解析】(1)当点E在BC边上，即0≤x≤4时，
S△ABE＝12×4×x＝2x；
当点E在CD边上，即4<x≤8时，
S△ABE＝12×4×4＝8；
当点E在DA边上，即8<x≤12时，
S△ABE＝12×4(12－x)＝24－2x.
综上y＝f(x)＝2x 0≤x≤48 4<x≤824－2x 8<x≤12
(2)图像如图所示