逍遥学能 2015-02-28 17:31
一、选择题
1.如图，正方形边长为10，且四个小正方形的对称中心在正方形的顶点上，小正方形的各边与各边平行或垂直，若小正方形边长为，阴影部分面积为，则能反映与的函数关系的图象大致是( ).
考查目的：考查二次函数的图象及建模能力.
答案：D.
解析：由题意知，阴影部分的面积和恰好等于一个小正方形的面积，∴函数的解析式为
，∴符合题意的图象为D.
2.今有一组实验数据如下：
1.99
3.0
4.0
5.1
6.12
1.5
4.04
7.5
12
18.01
现准备用下列函数中的一个近似地表示这些数满足的规律，其中最接近的一个是( ).
A. B. C. D.
考查目的：考查几类函数的增长速度及函数的拟合.
答案：C.
解析：画出数据的散点图易知，答案应选C.
3.下列函数中，随的增大而增长速度最快的是( ).
A. B. C. D.
考查目的：考查指数函数、对数函数、幂函数等几类不同函数的增长速度.
答案：A.
解析：∵在(0，＋∞)上，总存在一个，使得当时，有，∴排除B、C.又∵，∴的增长速度大于的增长速度，故选择A.
二、填空题
4.三个变量，，随变量的变化情况如下表：
1.00
3.00
5.00
7.00
9.00
11.00
5
135
625
1 715
3 645
6 655
5
29
245
2 189
19 685
177 149
5.00
6.10
6.61
6.95
7.20
7.40
其中呈对数函数型变化的变量是 ，呈指数函数型变化的变量是 ，呈幂函数型变化的变量是 .
考查目的：考查指数函数、对数函数、幂函数等几类不同函数的增长速度.
答案：，，.
解析:由表格及指数函数、对数函数、幂函数三种函数增长速度不同的特点可知，答案分别为，，.
5.一块形状为直角三角形的铁皮，两直角边长分别为40cm、60cm，现要将它剪成一个矩形，并以此三角形的直角为矩形的一个角，则矩形的最大面积是 .
考查目的：考查二次函数的建模和实际应用能力.
答案：600.
解析：设直角边长分别为时，对应的矩形边长分别为，则，解得，∴矩形的面积，∴当时，矩形的面积最大，最大面积().
6.计算机的价格大约每3年下降，那么今年花8100元买的一台计算机，9年后的价格大约是 元.
考查目的：考查指数的运算和指数函数的实际应用能力.
答案：300.
解析：设计算机的价格平均每年下降的百分数为，由题意得，解得，故9年后的价格大约为(元).
三、解答题
7.医学上为研究传染病传播中病毒细胞的发展规律及其预防，将病毒细胞注入一只小白鼠体内进行实验.经检验，病毒细胞的总数与天数的数据记录如下表．
天数
病毒细胞个数
1
1
2
2
3
4
4
8
5
16
6
32
已知该种病毒细胞在小白鼠体内的个数超过的时候，小白鼠将会死亡.如注射某种药物，可杀死其体内该病毒细胞的98%.
⑴为了使小白鼠在实验过程中不死亡，第一次最迟应在何时注射该种药物？
⑵第二次最迟应在何时注射该种药物，才能维持小白鼠的生命？(答案精确到天，已知：lg2=0.3010)
考查目的：考查函数建模及运用指数函数、对数函数解决实际问题的能力.
答案：⑴27；⑵33.
解析：⑴由题意知，病毒细胞个数关于天数的函数关系式为，则，两边取常用对数得，得，即第一次最迟应在第27天注射该种药物.
⑵由题意知，注射药物后小白鼠体内剩余的病毒细胞个数为，再经过天后小白鼠体内病毒细胞个数为.由题意得，，两边取常用对数得，，解得，即再经过6天必须注射药物，即第二次应在第33天注射药物.
8.据气象中心观察和预测：发生于M地的沙尘暴一直向正南方向移动，其移动速度(km/h)与时间(h)的函数图象如图所示.过线段OC上一点T(，0)作横轴的垂线，梯形OABC在直线左侧部分的面积即为(h)内沙尘暴所经过的路程(km).
⑴当时，求的值；
⑵将随变化的规律用数学关系式表示出来；
⑶若N城位于M地正南方向，且距M地650km，试判断这场沙尘暴是否会侵袭到N城，如果会，在沙尘暴发生后多长时间它将侵袭到N城？如果不会，请说明理由．
考查目的：考查分段函数和一次函数、二次函数的应用，以及函数建模能力和运算能力等.
答案：⑴24；⑵；⑶沙尘暴发生30h后将侵袭到N城.
解析：⑴由图象可知：当时，，∴.
⑵当时，；
当时，；
当时，.
综上可知，.
⑶∵当时，；当时，，∴当时，令，解得，.∵，∴，即沙尘暴发生30h后将侵袭到N城.