逍遥学能 2015-02-25 21:34
一、教学目标
a) 知识与技能
＊能根据散点分布特点，建立不同的回归模型。
＊知道有些非线性模型通过变换可以转化为线性回归模型。
＊通过散点图及相关指数比较体验不同模型的拟合效果。
b) 过程与方法
＊通过将非线性模型转化为线性回归模型，使学生体会“转化”的思想。
＊让学生经历数据处理的过程，培养他们对数据的直观感觉，体会统计方法的特点，认识统计方法的应用。
＊通过使用转化后的数据，利用计算器求相关指数，使学生体会使用计算器处理数据的方法。
c) 情感、态度与价值观
＊从实际问题中发现已有知识不足，激发好奇心、求知欲。
＊通过寻求有效的数据处理方法，开阔学生的思路，培养学生的探索精神和转化能力。
＊通过案例的分析，使学生了解回归分析在生活实际中的应用，增强数学“取之生活，用于生活”的意识，提高学习兴趣。
二．教学重点、难点
＊重点：通过探究使学生体会有些非线性模型运用等量变换、对数变换可以转化为线性回归模型。
＊难点：如何启发学生“对变量作适当的变换（等量变换、对数变换）”，变非线性为线性，建立线性回归模型。
三、教学过程设计
项 目
内 容
师生活动
设计意图
教
学
过
程
分
析
一、
创
设
情
境
1、你能回忆一下建立回归模型的基本步骤吗？
师：提出问题，引导学生回忆建立回归模型的基本步骤（选变量、画散点图、选模型、估计参数、分析和预测）。
生：回忆、叙述建立回归模型的基本步骤。
复习建立线性回归模型的基本步骤，为建议非线性模型做准备。
2、背景介绍：
红铃虫喜高温高湿，适宜各虫态发育的温度为 25一32C，相对湿度为80％一100％，低于 20C和高于35C卵不能孵化，相对湿度60％ 以下成虫不产卵。冬季月平均气温低于一4．8 ℃时，红铃虫就不能越冬而被冻死。
师：通过“红铃虫”的背景介绍，指出其发生受温度的影响，为采取有效防治方法，有必要研究红铃虫的产卵数和温度之间的关系，揭示课题。
生：阅读材料，了解红铃虫，以及其产卵数和温度有关系。
通过背景材料，加深学生对问题的理解，并明白“为什么要学”。体会问题产生于生活。同时激发学习兴趣，提高学习的积极性。
二、
探
索
新
知
二、
探
索
新
知
1、例2.现收集了一只红铃虫的产卵数y和温度x之间的7组观测数据列于下表：
温度xoC
21
23
25
27
29
32
35
产卵数y/个
7
11
21
24
66
115
325
(1)试建立y与x之间的回归方程；并预测温度为28oC时产卵数目。
(2)你所建立的模型中温度在多大程度上解释了产卵数的变化？
探究：
方案1（学生实施）：
（1）选择变量，画散点图。
（2）通过计算器求得线性回归方程:=19.87x-463.73
（3）进行回归分析和预测：
R2=r2≈0.8642=0.7464
预测当气温为28 时，产卵数为92个。这个线性回归模型中温度解释了74.64%产卵数的变化。
困惑：随着自变量的增加，因变量也随之增加，气温为28 时，估计产卵数应该低于66个，但是从推算的结果来看92个比66个却多了26个，是什么原因造成的呢？
方案2：
（1）找到变量t=x 2，将y=bx2+a转化成y=bt+a；
（2）利用计算器计算出y和t的线性回归方程：y=0.367t-202.54
（3）转换回y和x的模型：
y=0.367x2 -202.54
（4）计算相关指数R2≈0.802这个回归模型中温度解释了80.2%产卵数的变化。
预测：当气温为28 时，产卵数为85个。
困惑：比66还多19个，是否还有更适合的模型呢？
方案3：
（1）作变换z=lgy，将转化成z=c2x+lgc1（线性模型）。
（2）利用计算器计算出z和x的线性回归方程： z=0.118x-1.672
（3）转换回y和x的模型：
（4）计算相关指数R2≈0.985这个回归模型中温度解释了98.5%产卵数的变化。
预测：当气温为28 时，产卵数为4 2个。
师：给出数据，让学生分析两个变量的关系。
生：类比前面所学过的建立线性回归模型的步骤，动手实施方案1。
师：引导学生分析结果，发现问题。
生：检查结果，联系实际发现问题。
探究一：
师：引导学生将所得散点图和学过的函数图像比较，猜想产卵数y和温度x的可以用什么函数拟合？
生：通过比较，发现接近于指数关系，也像二次函数关系。
师：通过计算机拟合，直观判断所选模型。鼓励学生继续探索。
生：经过讨论建立模型：
y=bx2+a，
探究二（方案2）:
师：提出问题“如何求参数a、b?”可引导学生观察、比较表达式y=bx2+a和y=bx+a。
生：通过比较，发现可利用
t=x2，将y=bx2+a（二次函数）转化成y=bt+a（一次函数）。
师：提醒学生再检查结果。
生：产生新的问题。
探究三（方案3）:
师：提出问题“如果选用指数模型，是否也能转换成线性模型，如何转化？”（1）利用对数降幂法（教师可启发学生思考“幂指数中的自变量如何转化为自变量的一次幂？”可引导学生回忆对数的运算性质以及指对数关系。）。
（2）在计算中发现只有以10或e为底，才能直接运用计算器。
引导学生对结果进行分析，从而发现已有知识不足，激发好奇心、求知欲。同时培养学生对问题的洞悉能力，增强对结果的敏感自检能力。
通过联想、比较，运用已有知识寻找解决问题的方法。
二次函数和一次函数比较接近，所以先建立二次函数模型。
通过比较，寻找转化的途径，突破难点。
步步推进，引发另一高潮。
再次体会“转化”
课堂上选用以10为底，让学生亲自体会可以选用不同的底。
经历动手体验，感受“转化”以及使用统计方法处理数据的过程。能利用计算器熟练进行相关计算。
2、比较例2的三个模型。
师：以上三个模型，哪个能更好的刻画红铃虫的产卵数y 和温度x的关系？（可引导学生从散点图、相关指数两种方法进行比较。）
生：进行比较后获得指数模型更好。
引导学生进行不同模型的比较。体会“虽然任意两个变量的观测数据都可以用线性回归模型来拟合，但不能保证这种模型对数据的拟合效果最好，为更好的刻画两个变量之间的关系，要根据观测数据的特点来选择回归模型”
三、练
习
选修1-2：P13 3
或选修2-3： P104 3
生：自主思考，探究解题思路。
师：针对学生的解答强化或给予肯定。
使学生掌握解决这类问题的方法。
四、
小
结
（1）如何发现两个变量的关系？
（2）当选用非线性回归模型时，如何建立模型？
（3）如何比较不同模型的拟合效果？
师：提出问题，引导学生回顾例2的思路。
生：独立思考，总结从例2中获得的启发:可以从散点图直观发现关系；选用非线性回归模型时，往往要用“等量变换、对数变换”等方法，转化成线性回归模型；可以利用相关指数比较模型。
让学生整理建立非线性回归模型的思路。
五、作业
1、某种书每册的成本费y（元）与印刷册数x（千册）有关，经统计得到数据如下：
x
1
2
3
4
5
y
10.15
5.52
4.08
2.85
2.11
x
6
7
8
9
10
y
1.62
1.41
1.30
1.21
1.15
(1)画出散点图；
(2)求成本费y（元）与印刷册数x（千册）的回归方程。
2、通过互联网收集1993年至2003年每年中国人口总数的数据，建立人口与年份的关系，预测2004和2005年的人口总数，并计算与实际数据的误差。
生：自己收集资料，自主完成作业。
使学生“学以致用”利用已有知识解决实际问题，增强学习数学的兴趣
四、教学设计说明：
高中新课程中增加了有关统计学初步的内容，先后出现在必修3和选修1-2（文科）、选修2-3（理科）。《数学3》中的“统计”一章，给出了运用统计的方法解决问题的思路。“线性回归分析”是其介绍的一种分析整理数据的方法。在这一章中，学习了如何画散点图、利用最小二乘法的思想利用计算器求回归直线方程、利用回归直线方程进行预报等内容。然而在大量的实际问题中，两个变量不一定都呈线性相关关系，他们可能呈指数关系或对数关系等非线性关系，本课时就是在学习了如何建立线性回归模型的基础上，探索如何建立非线性关系的回归模型。
这个内容在人教A版教材中只安排了一道关于“红铃虫”的例题，但是它却代表了一种“回归分析”的类型。如何利用这道例题使学生掌握这类问题的解决方法呢？为此，我设计了“引导发现、合作探究”的教学方法。首先展示“红铃虫”的背景资料来激发学生的学习兴趣；鼓励学生用已有知识解决问题，引导学生检查结果从而发现新问题；通过分组合作来对不同方案进行探索；使学生在合作探索的过程中体会“选择模型——将非线性转化成线性……”方法，体会“化未知为已知、用已知探索未知”思想，同时认识不同模型的效果。培养学生观察、类比联想，以及分析问题的能力。在教学过程中让学生自主探索、动手实践，养成独立思考、积极探索的习惯。
在“选模型”这个环节中，我引导将散点分布和已学函数图像进行比较，从而发现二次函数和指数函数模型。在“转化”这个环节中，通过引导学生观察所选模型，联系已学知识选择“等量变换和对数变换”，从而找到转化的途径。在运算过程中，如求“相关指数”我引导学生使用转化后的数据，利用计算器求其相关系数即为相关指数，使学生体会使用计算器处理数据的方法和技能。