逍遥学能 2015-02-20 10:57
一、选择题
1.(2011上海理)若，且，则下列不等式中，恒成立的是( ).
A. B. C. D.
考查目的：考查基本不等式基础知识.
答案：D.
解析：选项A在时不成立，选项B、C在时不成立.
2.(2009重庆文)已知，则的最小值是( ).
A.2 B. C.4 D.5
考查目的：考查基本不等式的应用.
答案：C.
解析：，当且仅当，且，即时取“＝”号.
3.(2012浙江文)若正数满足，则的最小值是( ).
A. B. C.5 D.6
考查目的：考查基本不等式，以及不等式的证明和求最值中常用的一种方法――“1”的代换.
答案：C.
解析：∵，，∴，∴ ，当且仅当时取“＝”号.
二、填空题
4.(2011湖南理)设，则的最小值为 .
考查目的：考查基本不等式及其等号成立的条件．
答案：9.
解析：，当且仅当时取“＝”号.
5.(2008江苏卷)已知，，则的最小值是 ．
考查目的：考查二元基本不等式的运用.
答案：3.
解析：由得，代入得，，当且仅当 时取“＝”号．
6.(2010安徽文)若，则下列不等式：①；②；③ ；④；⑤，其中对一切满足条件的恒成立的是 (写出所有正确命题的编号)．
考查目的：考查不等式的性质、基本不等式的应用，以及推理论证能力.
答案：①③⑤.
解析：∵，∴，①为真.令可得②④为假.∵
，∴③为真.又∵，∴⑤为真.
三、解答题
7.已知直角中，周长为，面积为，求证：.
考查目的：考查勾股定理、三角形面积公式、基本不等式等基础知识，考查推理论证能力.
解析：设直角的两直角边长为，则斜边长为，面积，∴周长，∴，∴ ，即.
8.(2009湖北文)围建一个面积为的矩形场地，要求矩形场地的一面利用旧墙(利用旧墙需维修)，其它三面围墙要新建，在旧墙的对面的新墙上要留一个宽度为的进出口，如图所示. 已知旧墙的维修费用为元/，新墙的造价为元/，设利用的旧墙的长度为(单位：)，修建此矩形场地围墙的总费用为(单位：元).
⑴将表示为的函数：
⑵试确定，使修建此矩形场地围墙的总费用最小，并求出最小总费用.
考查目的：考查函数和不等式等基础知识，考查用基本不等式求最值和运用数学知识解决实际问题的能力.
答案：⑴；⑵时，元.
解析：⑴根据题意，旧墙的维修费用为元，建新墙的费用为元，所以.
⑵∵，∴，∴，当且仅当，即时，等号成立，此时取得最小值.
答：当时，修建围墙的总费用最小，最小总费用是元.