逍遥学能 2015-02-19 11:07
圆是与一个定点的距离等于定长的所有点组成的曲线。车轮就直接地应用了圆的这个性质。车轮正是由于它的等长的车辐，使车轴处于一定的高度，从而得到一个平稳的水平运动。倘若车轮不是圆的，那么车轴将会产生一种忽上忽下的运动。运动中如果有很大的载重，轮和轴就不能保持十分坚固。
有时我们要移动重物，可以如同图1那样把重物放在圆木棍上滚动，并平稳地前进。圆用来作滚动的原因是由于圆有这样的性质，即当圆不管怎样滚动时，圆的任何一对平行切线的距离总是相等的。即圆在任意方向都有相同的宽度，因而圆也就是所谓的“等宽曲线”。
然而令人惊讶的是，对于完成流动所需要的性质来说，棍的横断面未必要是圆的!
事实上存在着大量的非圆等宽曲线，最简单的等宽曲线不是圆，而是如图2所示的曲边三角形。它的画法如下：
1．画一个等边三角形；
2．以所作的等边三角形的三个顶点为圆心，边长为半径，作各内角所对的圆弧。
显然，这个等宽曲线的宽度等于原来等边三角形的边长。请你亲自动手做个实验。把一硬纸卡片剪出一个如上所画的等宽曲线的样子，而用另一硬纸卡片剪下一个正方形的洞。如果正方形的边长等于曲线的宽度，那么不管方向怎样变化，它正好合适地装入这个曲线板，并且这个等宽曲线板可以在正方形内紧密无间地自由转动（如图3）。实际上，任何等宽曲线都可以在边长等于曲线宽度的正方形内紧密无间而自由地转动；反之，可以在正方形内紧密而自由地转动的曲线也是等宽曲线。
用这种等宽曲线做横断面的滚子，也能使载重物水平地移动，而不致于上下颠簸（如图4）。这种具有奇特功能的曲边三角形，是由工艺学家鲁列斯首先发现的，所以也称为鲁列斯曲边三角形。
在鲁列斯的等宽曲线上有尖点，即在两条圆弧相交处形成角顶。我们希望它光滑一些，可以按下面的方法得到没有任何角顶的新的等宽曲线：把等边三角形的各边向两个方向延长相等的一段；以三个顶点为圆心画圆弧，使得三个内角所对的圆弧的半径，等于边长与延长线的长度的和；内角的对顶角所对的圆弧，等于延长线的长。由这样的六条圆弧组成的等宽曲线克服了尖点，因此光滑得多了（如图5）。
画等宽曲线的关键的想法是：圆弧的中心是它所对的角顶。下面介绍一种等宽的曲边多边形的一般画法，并使它的宽度为b。开始可以把任意点B作为第一个角顶，以B为圆心、b为半径画弧；在这个弧上，选择A和C二点作为新角顶，以C为圆心、b为半径画弧（该弧必经过B）；在这个弧上，选择另一个角顶D，以D为圆心、b为半径画弧（该弧必经过C），如果我们希望结束这个过程，可以在这个弧上选择角顶E，使它也处在以A为圆心、b为半径的弧上（该弧必经过点B）。也就是E是两个弧的交点。最后，用一个以E为圆心、b为半径的弧连接A和D，这样就得到一个等宽的曲边五边形ADBEC（如图6）。边数更多的多边形，可用同样的方法作出来，这只要多作几步，然后使曲线成为闭合的就可以了。
同样的原理，我们还可以利用这些曲线得到没有任何角顶的等宽曲线。
这些方法使我们可以构作无数个等宽曲线，它们都是由许多圆弧组成的。但不要误解为等宽曲线只能由圆弧组成，实际上有这样的等宽曲线，它的一部分不管是多么小，都不是圆弧。在这里我们不可能介绍它，因为已经超出了初中几何知识的范围。
日常生活中，我们看到许多加盖的盛具，如锅、杯、壶、缸、桶之类，都是圆口圆盖的形状。这除了容易加工制造以外，主要还是应用圆是等宽曲线的特性。圆形的盖子，只要它不变形，从任何方向都不会掉进盛具里去。为了提高观赏价值与品茶雅兴，一些艺术茶壶的壶盖可以设计成其他等宽曲线的形状。