逍遥学能 2015-02-19 11:06
一、选择题
1.(2012安徽理)公比为等比数列的各项都是正数，且，则( ).
A.4 B.5 C.6 D.7
考查目的：考查等比数列的通项公式与性质、对数的概念与运算等基础知识.
答案：B.
解析：∵，∴，∵的各项都是正数，∴，∴，∴.
2.(2011江西理)已知数列的前项和满足：，且，那么( ).
A.1 B.9 C.10 D.55
考查目的：考查数列的递推公式、等差数列的概念及通项公式、与的关系.
答案：A
解析：令，得，∵，∴，∴是首项为，公差为的等差数列，，因此，.
3.(2011天津理)已知为等差数列，其公差为，且是与的等比中项，为的前项和，，则的值为( ).
A.-110 B.-90 C.90 D.110
考查目的：考查等比中项的概念以及等差数列通项公式、前项和公式的基本应用.
答案：D
解析：设等差数列的公差为，根据题意得，即，将代入，并解得，所以.
4.(2012湖北理)定义在上的函数，如果对于任意给定的等比数列， 仍是等比数列，则称为“保等比数列函数”. 现有定义在上的如下函数：①；②；③；④.则其中是“保等比数列函数”的的序号为( ).
A.①② B.③④ C.①③ D.②④
考查目的：本题考察等比数列的性质及函数计算.
答案：C.
解析：对于①，，所以是“保等比数列函数”； 对于②，，所以不是“保等比数列函数”；对于③，，所以是“保等比数列函数”；对于④，，所以不是“保等比数列函数”.
5.已知数列满足，当时，，则( ).
A.1 B.2 C.-1 D.-2
考查目的：考查数列递推公式的运用、周期数列的概念与判断，考查分析判断能力.
答案：A.
解析：由条件可得该数列为：，所以是周期为的周期数列，所以.
6.(2012上海理)设，，在中，正数的个数是( ).
A.25 B.50 C.75 D.100
考查目的：数列前项和的概念、三角函数的周期性，考查综合运用知识分析问题解决问题的能力.
答案：D.
解析：当时，；当时，，但其绝对值要小于时相应的值；当时，；当时，，但其绝对值要小于时相应的值；当时，. ∴当时，均有.
二、填空题
7.(2009北京理)已知数列满足：，，，，则______；_________.
考查目的：考查数列的概念、周期数列等基础知识.
答案：1，0.
解析：依题意，得，.
8.(2011湖北理)《九章算术》“竹九节”问题：现有一根9节的竹子，自上而下各节的容积成等差数列，上面4节的容积共为3升，下面3节的容积共4升，则第5节的容积为 升.
考查目的：考查等差数列的概念、基本运算以及运算能力.
答案：.
解析：记题中的等差数列为，公差为，前项和为. 根据题意知，，两式联立解得，，∴.
9.(2010天津文)设是等比数列，公比，为的前项和.记，，设为数列的最大项，则 .
考查目的：考查等比数列的前项和公式及平均值不等式等基础知识，考查运算能力.
答案：4.
解析：根据等比数列前项和公式，得 .∵，当且仅当，即时取等号，而，∴当时，取最大值，即数列的最大项为，所以.
10.(2011江苏卷)设，其中成公比为的等比数列，成公差为1的等差数列，则的最小值是________.
考查目的：考查等差数列、等比数列的概念和通项公式，考查不等式的有关知识及推理判断能力.
答案：.
解析：由题意可得，∴. ∵，∴当取最小值时，，∴，即的最小值是.
11.(2012四川理)记为不超过实数的最大整数，例如，，，.设为正整数，数列满足，，现有下列命题：①当时，数列的前3项依次为5，3，2；②对数列都存在正整数，当时总有；③当时，；④对某个正整数，若，则. 其中的真命题有____________.(写出所有真命题的编号)
考查目的：本题属于新概念问题，主要考查对新概念的理解、不等式的性质，以及数列知识的灵活运用和推理论证能力.
答案：①③④
解析：易证，对于取整函数有下列性质：性质1：当时，；性质2：对，有；性质3：若，，则. ①当时， ，，故①为真；②当时，易知该数列为：(1与2交替出现)，所以②为假；③∵ ，∴；由题易知，对一切，均为正整数，所以无论是奇数还是偶数，均有 ，故③为真；④若对某个正整数，则由 ，得，∴，∵是正整数，∴.又∵，，∴(或由③为真，及，直接可得)，故，因此④为真.