逍遥学能 2015-02-16 12:45
一、关于教材分析
1、教材的地位和作用
“点到直线的距离”是在学生学习直线方程的基础上，进一步研究两直线位置关系的一节内容，我们知道两条直线相交后，进一步的量化关系是角度，而两条直线平行后，进一步的量化关系是距离，而平行线间的距离是通过点到直线距离来解决的．此外在研究直线与圆的位置关系、曲线上的点到直线的距离以及解析几何中有关三角形面积的计算等问题时，都要涉及点到直线的距离．所以 “点到直线的距离公式”是平面解析几何的一个重要知识点．由于这一节是直线内容的结尾部分，学生已经具备直线的有关知识（如交点、垂直、向量、三角形等），因此，一方面公式的推导成为可能，另一方面公式的推导也是检验学生是否真正掌握所学知识点的一个很好的课题．通过公式推导的获得，可以培养学生分析问题、解决问题的能力，以及自主探究和合作学习的能力．
2、教学目标分析
我确定教学目标的依据有以下三条：
（1）教学大纲、考试大纲的要求
（2）新教材的特点
（3）所教学生的实际情况
教学目标包括：知识、能力、德育等方面的内容．
“点到直线的距离公式”是平面解析几何重要的基础知识，也是教学大纲和考试大纲要求掌握的一个知识点．按照大纲 “在传授知识的同时，渗透数学思想方法，培养学生数学能力”的教学要求，结合新教材向量的引入，又根据所带班级学生基础和素质教好的情况，我把本节课的教学目标确定为：
（1）让学生理解点到直线距离公式的推导思想，掌握点到直线距离公式及其应用，会用点到直线距离求两平行线间的距离；
（2）通过推导公式方法的发现，培养学生观察、思考、分析、归纳等数学能力；在推导过程中，渗透数形结合、转化（或化归）等数学思想以及特殊与一般的方法；
（3）通过本节学习，引导学生用联系与转化的观点看问题，体验在探索问题的过程中获得的成功感．
3、教学重点：点到直线距离公式的推导和应用．
教学难点：发现点到直线距离公式的推导方法．
二、关于教学方法和教学用具的说明
1、教学方法的选择
（1）指导思想：在“以生为本”理念的指导下，充分体现“教师为主导，学生为主体”．
（2）教学方法：问题解决法、讨论法等．
本节课的任务主要是公式推导思路的获得和公式的推导及应用．我选择的是问题解决法、讨论法等．通过一系列问题，创造思维情境，通过师生互动，让学生体验、探究、发现知识的形成和应用过程，以及思考问题的方法，促进思维发展；学生自主学习，分工合作，使学生真正成为教学的主体．
2、教学用具的选用
在选用教学用具时，我考虑到，在本节课的公式推导和例题求解中思路较多，所以采用了计算机多媒体和实物投影仪作为辅助教具．它可以将数学问题形象、直观显示，便于学生思考，实物投影仪展示学生不同解题方案，提高课堂效率．
三、关于教学过程的设计
“数学是思维的体操”，一题多解可以培养和提高学生思维的灵活性，及分析问题和解决问题的能力．课程标准指出，教学中应注意沟通各部分内容之间的联系，通过类比、联想、知识的迁移和应用等方式，使学生体会知识间的有机联系，感受数学的整体性．课标又指出，鼓励学生积极参与教学活动．为此，在具体教学过程中，把本节课分为以下：“创设情境 提出问题――自主探索 推导公式――变式训练 学会应用――学生小结 教师点评――课外练习 巩固提高”五个环节来完成．下面对每个环节进行具体说明．
（一）[创设情境 提出问题]
1、这一环节要解决的主要问题是：
创设情境，引导学生分析实际问题，由实际问题转化为数学问题，揭示本课任务．同时激发学生学习兴趣，培养学生数学建模能力．
2、具体教学安排：
多媒体显示实例，电信局线路问题，实际怎样解决？能否转化为解析几何问题？学生很快想到建立坐标系．如何建立坐标系？建系不同，点和直线方程不同，用点的坐标和直线方程如何解决距离问题，由此引出本课课题“点到直线的距离”．
（二）[自主探索 推导公式]
1、这一环节要解决的主要问题是：
充分发挥学生的主体作用，引导学生发现点到直线距离公式的推导方法，并推导出公式．在公式的推导过程中，围绕两条线索：明线为知识的学习，暗线为特殊与一般的逻辑方法以及转化、数形结合等数学思想的渗透．
2、具体教学安排：
2．1 学生初探 解决特例
首先提出问题：怎样用解析几何方法求解点到直线距离？由于字母的运算有难度，引导学生从直线的特殊情况入手，这样问题比较容易解决．学生应该能想到，如果直线是坐标轴或平行坐标轴的时候问题比较容易解决，给予学生肯定的评价．学生自己完成推导过程，选两名学生进行板演．
2．2 师生互动 获取思路
特殊情况已经解决，引导学生考虑一般直线的情况．通过学生思考，教师收集得到思路一：过作于点，根据点斜式写出直线方程，由与联立方程组解得点坐标，然后利用两点距离公式求得．
我及时评价这种方法思路自然，是一种解决办法．为了拓展学生思维，我们根据已有的知识和经验，还有什么办法能解决？
为此我启发学生，提出问题：
(1)求线段长度可以构造图形吗？
(2)什么图形？如何构造？（学生经过讨论，得到构造三角形，把线段放在直角三角形中．）但是如何构造又是一个难点．
(3)第三个顶点在什么位置？
(4)特殊情况与一般情况有联系吗？
学生通过观察、讨论会提出第三个顶点的不同位置：可能在直线与x轴的交点M或与y轴交点N；或根据特殊情况的证法提示，过P点作x、y轴的平行线与直线的交点R、S．或同时做x、y轴平行线．这样就收集到思路二、三、四．三种思路已经有了，它们的共性是什么？学生能观察出都在三角形中．我继续引导：能不能不构造三角形？而是其它数学相关量？我们刚学习了向量知识，能否用向量知识解决问题呢？（由于在前面学习的向量知识中，向量的模可以表示两点之间的距离，而证明两直线垂直时也已经用到向量知识，法向量又是本节课后阅读材料，本班学生基础和素质较好，在学习直线方向向量时已经布置阅读）．
提出问题：线段的长度就是对应向量的模，那么如何求得向量的模呢？根据实际情况提示一方面的方向完全由直线的方向而定（与法向量共线），另一方面的长度又与点P有关，它的长度又如何控制下来？所以有思路五，由师生一起分析，取法向量＝，而=，以下只要求得，就可以得到距离．
2．3 分工合作 自主完成
学生提出了不同的解决方案，究竟哪种好呢？如果让每位学生都去用不同解法探求，在课堂上时间显然是不允许的，但教学中又要培养学生的运算能力，如何解决这种矛盾呢？现代教育要求学生要有自主学习、合作学习能力，因此我叫学生对五种思路进行分组练习．
在学生求解过程中，我巡视，观看学生解题，了解情况，根据课堂时间的实际情况，选取做好的学生的解题过程用实物投影仪显示．这样不仅能让全体学生看到不同思路的具体解法，还能得出最佳解题方案，接着我展示最佳解题方案的规范步骤．目的让学生有良好的规范的书面表达习惯，起到教师典范的作用．
2．4 公式小结 概括提升
公式推导出，学生有了成功的喜悦．我也给予了肯定．但是由于公式的结果是一般情况得出的，而对于，点在直线上是否成立，它们与，点在直线外有什么关系？这并没有验证．而我们要求学生考虑问题要全面，为此我提出提问：①上式是由条件下得出，对成立吗？②点P在直线上成立吗？③公式结构特点是什么？用公式时直线方程是什么形式？通过学生的讨论，使学生了解公式适用的范围：任意点、任意直线．同时体现整体认识和分类讨论思想．
依据新课程的理念，教师要创造性地使用教材．在公式的推导过程中，我做了和教材不同的处理方法：（1）先特殊后一般的证法，（2）多角度构造三角形，（3）知识联系，向量解决．目的是让学生在考虑问题时有特殊到一般的意识，符合学生认知规律，使问题的解决循序渐进．向量是新教材内容，是一种很好的数学工具，和解析几何结合应用是现在新教材知识的交汇点．而多角度考虑问题，发散学生思维．
（三）[变式训练 学会应用]
1、这一环节解决的主要问题是：
通过练习，熟悉公式结构，记忆并简单应用公式．通过例题的不同解法，进一步让学生体会转化（或化归）的数学思想．
2、具体教学安排：
由学生完成下列练习：
（1）解决课堂提出的实际问题．（学生口答）
（2）求点P0(－1,2)到下列直线的距离 ：
①3x=2 ②5y=3 ③2x＋y=10 ④y=－4x+1
设计说明：练习1的设计解决了上课开始提出的实际问题．练习2的设计故意选特殊直线和非直线方程一般式，主要强调在公式应用时，直线方程是一般式，应用公式的准确性．
例题（3）求平行线2x－7y＋8=0和2x－7y－6=0的距离．
我选取的是课本例题，课本只有一种具体点的解法．我通过本节课的学习，让学生对知识从深度和广度上进行挖掘．通过几何画板的演示，让学生直观看到思考问题的方法．除了选择直线上的点，还可以选取原点，求它到两条直线的距离，然后作和．或者选取直线外的点P，求它到两条直线的距离，然后作差．由特殊点到任意点，由特殊直线到任意直线，从而延伸出两平行线间的距离．目的是在整个过程中，让学生注意体会解题方法中的灵活性以及转化等数学思想方法．
（四）[学生小结 教师点评]
1、这一环节解决的主要问题和达到的目的是：
通过师生共同小结，巩固所学知识，提炼用到的解决问题的方法，其中蕴涵的数学思想方法，培养学生归纳概括能力．
2、具体教学安排：
本节课小结主要由学生完成知识总结，通过学习知识所体验到的数学思想方法，由学生总结和相互补充，教师适当点评，加以经验总结．
（五）[课外练习 巩固提高]
① 课本习题7.3的第13题―16题；
② 总结写出点到直线距离公式的多种方法．
设计说明：作业1是课本习题，检查学生所学知识掌握的程度．作业2是根据课堂分析，让学生总结公式推导的方法．除了课堂上想到的方法还可以继续思考，比如在用两点距离公式整体代换等方法，发挥学生学习的自主性和思维的广阔性．
四、关于教学评价的设计
新课程标准提出要加强过程性评价，因而在具体教学过程中，我对于学生的语言与行为的表现，及时给予肯定性的表扬和鼓励；学生思维暴露出问题时及时评价，矫正思维方向，调整教学思路；为了获得后反馈信息，布置作业，通过观察学生完成作业情况，了解学生在知识技能和数学方法方面的收获和不足，指导我今后教学．整个教学评价是在师生互动中完成的．