逍遥学能 2015-01-30 14:46
一、选择题
1.(2012安徽文)若满足约束条件 ，则的最小值是( ).
A. B. C. D.
考查目的：考查线性规划的有关概念和求解方法，考查数形结合思想.
答案：A.
解析：约束条件对应的可行域为内部(包括边界)，其中，，，∴.
2. (2010浙江理)若实数满足不等式组，且的最大值为9，则实数( ).
A. B. C.1 D.2
考查目的：考查二元一次不等式组的平面区域，以及简单的转化思想和数形结合的思想.
答案：C.
解析：将最大值转化为目标函数表示的直线在轴上的截距，将等价为斜率的倒数，作出前两个不等式表示的平面区域为两条直线的斜上方区域，由题意可知，直线应与此区域围成一个三角形区域，所以必有，且目标函数在直线与直线的交点处取得最大值，因此，解得.
3.给出如图所示的平面区域，其中.若使目标函数取得最大值的最优解有无穷多个，则的值是( ).
A. B. C.2 D.
考查目的：考查线性规划问题、直线的斜率公式等基础知识，考查数形结合和分析判断能力.
答案：B.
解析：目标函数表示斜率为的直线，是该直线在轴上的截距. 因为目标函数取得最大值的最优解有无穷多个，所以直线必经过的边或边(边所在直线斜率不存在). 若经过边，则取得最小值，不合题意；该直线经过边时，取得最大值，此时，线段上的点都是最优解，所以，.
二、填空题
4.(2009山东文)某公司租赁甲、乙两种设备生产两类产品，甲种设备每天能生产类产品5件和类产品10件，乙种设备每天能生产类产品6件和类产品20件. 已知设备甲每天的租赁费为200元，设备乙每天的租赁费为300元，现该公司至少要生产类产品50件，类产品140件，则所需租赁费最少为__________元.
考查目的：考查线性规划问题在实际中的应用.
答案：2300.
解析：设生产甲种设备需要天，生产乙种设备需要天，该公司所需租赁费为元，则，根据题意得线性约束条件为，即:.作出可行域(图略).由的几何意义可知，当对应的直线过两直线的交点(4，5)时，目标函数取得最小值2300元.
5.(2012上海文)满足约束条件的目标函数的最小值是 .
考查目的：考查线性规划问题、作图能力和数形结合思想.
答案：.
解析：根据题意得，或，或，或，其可行域为平行四边形及其内部区域，如图所示. 目标函数表示斜率为1的直线，由的几何意义可知，当该直线过点时有最小值，此时.
6.(2012江苏卷)已知正数满足则的取值范围是 .
考查目的：考查线性规划问题、直线的斜率概念与公式、导数的几何意义、直线的方程等基础知识，以及等价转化思想与数形结合思想.
答案：.
解析：条件，可化为.设，，则题目转化为：已知满足，求的取值范围.
作出可行域如图所示(阴影部分)，的几何意义为阴影部分内的点与原点连线的斜率. 求出的过原点的切线方程为，易知切点位于之间，∴的最小值为.∵，∴的最大值为，因此的取值范围为，即的取值范围是.
三、解答题
7.某工厂生产甲、乙两种产品，计划每天每种产品的生产量不少于15吨，已知生产甲产品1吨需煤9吨，电力4千瓦时，劳力3个；生产乙产品1吨需煤4吨，电力5千瓦时，劳力10个；甲产品每吨的利润为7万元，乙产品每吨的利润为12万元；但每天用煤不超过300吨，电力不超过200千瓦时，劳力只有300个. 问每天生产甲、乙两种产品各多少吨，才能使利润总额达到最大？
考查目的：考查线性规划问题、应用数学知识解决实际问题的能力.
答案：20，24.
解析：设每天生产甲、乙两种产品分别为吨、吨，利润总额为万元，根据题意，得线性约束条件为，目标函数为.作出可行域如图所示.作直线，并将其向可行域平移. 由的几何意义可知，当平移至经过点时，目标函数取得最大值.
解方程组，可得点坐标为，∴(万元).
答：每天应生产甲产品20吨，乙产品24吨，才能使利润总额达到最大，为428万元.
8.(2010广东理)某营养师要为某个儿童预定午餐和晚餐. 已知一个单位的午餐含12个单位的碳水化合物6个单位的蛋白质和6个单位的维生素C；一个单位的晚餐含8个单位的碳水化合物，6个单位的蛋白质和10个单位的维生素C. 另外，该儿童这两餐需要的营养中至少含64个单位的碳水化合物，42个单位的蛋白质和54个单位的维生素C.
如果一个单位的午餐、晚餐的费用分别是2.5元和4元，那么要满足上述的营养要求，并且花费最少，应当为该儿童分别预定多少个单位的午餐和晚餐？
考查目的：考查二元一次不等式组表示的平面区域、线性规划问题等基础知识和方法，考查数形结合能力和应用数学知识解决实际问题的能力.
答案：4个单位的午餐、3个单位的晚餐.
解析：设该儿童分别预订个单位的午餐和晚餐，共花费元，则.根据题意得，线性约束条件为，即.作出可行域如图所示，并作出直线.由的几何意义可知，当将平移至经过点时，目标函数取得最小值.
由方程组可求得恰好为整点，此时.
答：应当为该儿童预订4个单位的午餐和3个单位的晚餐，既能满足营养要求，又可使花费最少.