逍遥学能 2015-01-17 13:45
编者按：小编为大家收集了“高中数学：方差公式”，供大家参考，希望对大家有所帮助!
一．方差的概念与计算公式
例1 两人的5次测验成绩如下：
X： 50，100，100，60，50 E(X )=72;
Y： 73， 70， 75，72，70 E(Y )=72。
平均成绩相同，但X 不稳定，对平均值的偏离大。
方差描述随机变量对于数学期望的偏离程度。
单个偏离是
消除符号影响
方差即偏离平方的均值，记为D(X )：
直接计算公式分离散型和连续型，具体为：
这里 是一个数。推导另一种计算公式
得到：“方差等于平方的均值减去均值的平方”。
其中，分别为离散型和连续型计算公式。 称为标准差或均方差，方差描述波动
二．方差的性质
1.设C为常数，则D(C) = 0(常数无波动);
2. D(CX )=C2 D(X ) (常数平方提取);
证：
特别地 D(-X ) = D(X ), D(-2X ) = 4D(X )(方差无负值)
3.若X 、Y 相互独立，则
证：记
则
前面两项恰为 D(X )和D(Y )，第三项展开后为
当X、Y 相互独立时，
，
故第三项为零。
特别地
独立前提的逐项求和，可推广到有限项。
方差公式：
平均数：M=(x1+x2+x3+…+xn)/n (n表示这组数据个数，x1、x2、x3……xn表示这组数据具体数值)
方差公式：S²=〈(M-x1)²+(M-x2)²+(M-x3)²+…+(M-xn)²〉?n
三．常用分布的方差
1.两点分布
2.二项分布
X ~ B ( n, p )
引入随机变量 Xi (第i次试验中A 出现的次数，服从两点分布)
，
3.泊松分布(推导略)
4.均匀分布
另一计算过程为
5.指数分布(推导略)
6.正态分布(推导略)
7.t分布 :其中X~T(n)，E(X)=0;D(X)=n/(n-2);
8.F分布：其中X~F(m,n),E(X)=n/(n-2);
~
正态分布的后一参数反映它与均值 的偏离程度，即波动程度(随机波动)，这与图形的特征是相符的。
例2 求上节例2的方差。
解 根据上节例2给出的分布律，计算得到
工人乙废品数少，波动也小，稳定性好。
方差的定义：
设一组数据x1,x2,x3······xn中，各组数据与它们的平均数x(拔)的差的平方分别是(x1-x拔)²，(x2-x拔)²······(xn-x拔)²，那么我们用他们的平均数s2=1/n【(x1-x拔)²+(x2-x拔)²+·····(xn-x拔)²】来衡量这组数据的波动大小，并把它叫做这组数据的方差。
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