逍遥学能 2015-01-15 11:28
（2013•牡丹江）劳技课上小敏拿出了一个腰长为8厘米，底边为6厘米的等腰三角形，她想用这个等腰三角形加工成一个边长比是1：2的平行四边形，平行四边形的一个内角恰好是这个等腰三角形的底角，平行四边形的其它顶点均在三角形的边上，则这个平行四边形的较短的边长为 2.4c或 c ．
考点：相似三角形的判定与性质；等腰三角形的性质；平行四边形的性质．3718684
专题：分类讨论．
分析：设平行四边形的短边为xc，分两种情况进行讨论，①若BE是平行四边形的一个短边，②若BD是平行四边形的一个短边，利用三角形相似的性质求出x的值．
解答：解：如图AB=AC=8c，BC=6c，
设平行四边形的短边为xc，
①若BE是平行四边形的一个短边，
则EF∥BC，
= ，
解得x=2.4厘米，
②若BD是平行四边形的一个短边，
则EF∥AB，
= ，
解得x= c，
综上所述短边为2.4c或 c．
点评：本题主要考查相似三角形的判定与性质等知识点，解答本题的关键是正确的画出图形，结合图形很容易解答．
（2013•绥化）如图，在平行四边形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，点E，F分别是边AD，AB的中点，EF交AC于点H，则 的值为（ ）
A．1B． C． D．
考点：三角形中位线定理；平行四边形的性质．
分析：根据三角形的中位线平行于第三边并且等于第三边的一半求出H是AO的中点，再根据平行四边形的对角线互相平分可得AO=CO，然后求出CH=3AH，再求解即可．
解答：解：∵点E，F分别是边AD，AB的中点，
∴AH=HO，
∵平行四边形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，
∴AO=CO，
∴CH=3AH，
∴ = ．
故选C．
点评：本题考查了平行四边形对角线互相平分的性质，三角形的中位线平行于第三边并且等于第三边的一半，熟记各性质是解题的关键．
（2013•绥化）已知，在△ABC中，∠BAC=90°，∠ABC=45°，点D为直线BC上一动点（点D不与点B，C重合）．以AD为边做正方形ADEF，连接CF
（1）如图1，当点D在线段BC上时．求证CF+CD=BC；
（2）如图2，当点D在线段BC的延长线上时，其他条件不变，请直接写出CF，BC，CD三条线段之间的关系；
（3）如图3，当点D在线段BC的反向延长线上时，且点A，F分别在直线BC的两侧，其他条件不变；
①请直接写出CF，BC，CD三条线段之间的关系；
②若正方形ADEF的边长为2 ，对角线AE，DF相交于点O，连接OC．求OC的长度．
考点：四边形综合题．
分析：（1）三角形ABC是等腰直角三角形，利用SAS即可证明△BAD≌△CAF，从而证得CF=BD，据此即可证得；
（2）同（1）相同，利用SAS即可证得△BAD≌△CAF，从而证得BD=CF，即可得到CF?CD=BC；
（3）首先证明△BAD≌△CAF，△FCD是直角三角形，然后根据正方形的性质即可求得DF的长，则OC即可求得．
解答：证明：（1）∵∠BAC=90°，∠ABC=45°，
∴∠ACB=∠ABC=45°，
∴AB=AC，
∵四边形ADEF是正方形，
∴AD=AF，∠DAF=90°，
∵∠BAD=90°?∠DAC，∠CAF=90°?∠DAC，
∴∠BAD=∠CAF，
则在△BAD和△CAF中，
，
∴△BAD≌△CAF（SAS），
∴BD=CF，
∵BD+CD=BC，
∴CF+CD=BC；
（2）CF?CD=BC；
（3）①CD?CF=BC
②∵∠BAC=90°，∠ABC=45°，
∴∠ACB=∠ABC=45°，
∴AB=AC，
∵四边形ADEF是正方形，
∴AD=AF，∠DAF=90°，
∵∠BAD=90°?∠BAF，∠CAF=90°?∠BAF，
∴∠BAD=∠CAF，
∵在△BAD和△CAF中，
∴△BAD≌△CAF（SAS），
∴∠ACF=∠ABD，
∵∠ABC=45°，
∴∠ABD=135°，
∴∠ACF=∠ABD=135°，
∴∠FCD=90°，
∴△FCD是直角三角形．
∵正方形ADEF的边长为2 且对角线AE、DF相交于点O．
∴DF= AD=4，O为DF中点．
∴OC= DF=2．
点评：本题考查了正方形与全等三角形的判定与性质的综合应用，证明三角形全等是关键．
（2013•河南）如图，矩形ABCD中，AB=3，BC=4，点
E是BC边上一点，连接AE，把∠B沿AE
折叠，使点B落在点B′处，当△CEB′为直
角三角形时，BE的长为_________.
（2013•河南）如图，在等边三角形ABC中，BC=6c. 射线AG//BC，点E从点A出发沿射线AG以1c/s的速度运动，同时点F从点B出发沿射线BC以2c/s的速度运动，设运动时间为t(s).
（1）连接EF，当EF经过AC边的中点D时，求证：△ADE≌△CDF；
（2）：
①当t为_________s时，四边形ACFE是菱形；
②当t为_________s时，以A、F、C、E为顶点的四边形是直角梯形.
（2013兰州）如图1，在△OAB中，∠OAB=90°，∠AOB=30°，OB=8．以OB为边，在△OAB外作等边△OBC，D是OB的中点，连接AD并延长交OC于E．
（1）求证：四边形ABCE是平行四边形；
（2）如图2，将图1中的四边形ABCO折叠，使点C与点A重合，折痕为FG，求OG的长．
考点：平行四边形的判定与性质；等边三角形的性质；翻折变换（折叠问题）．
分析：（1）首先根据直角三角形中斜边上的中线等于斜边的一半可得DO=DA，再根据等边对等角可得∠DAO=∠DOA=30°，进而算出∠AEO=60°，再证明BC∥AE，CO∥AB，进而证出四边形ABCE是平行四边形；
（2）设OG=x，由折叠可得：AG=GC=8?x，再利用三角函数可计算出AO，再利用勾股定理计算出OG的长即可．
解答：（1）证明：∵Rt△OAB中，D为OB的中点，
∴DO=DA，
∴∠DAO=∠DOA=30°，∠EOA=90°，
∴∠AEO=60°，
又∵△OBC为等边三角形，
∴∠BCO=∠AEO=60°，
∴BC∥AE，
∵∠BAO=∠COA=90°，
∴CO∥AB，
∴四边形ABCE是平行四边形；
（2）解：设OG=x，由折叠可得：AG=GC=8?x，
在Rt△ABO中，
∵∠OAB=90°，∠AOB=30°，BO=8，
∴AO=BO•cos30°=8× =4 ，
在Rt△OAG中，OG2+OA2=AG2，
x2+（4 ）2=（8?x）2，
解得：x=1，
∴OG=1．
点评：此题主要考查了平行四边形的判定与性质，以及勾股定理的应用，图形的翻折变换，关键是掌握平行四边形的判定定理．
（2013•黔西南州）已知 ABCD中， ，则 的度数是
A、 B、 C、 D、
（2013•黔西南州）如图5所示，菱形ABCD的边长为4，且 于E， 于F，∠B=60°，则菱形的面积为_________。
（2013•乌鲁木齐）如图．在△ABC中，∠ACB=90°，CD⊥AB于D，AE平分∠BAC，分别于BC、CD交于E、F，EH⊥AB于H．连接FH，求证：四边形CFHE是菱形．
考点：菱形的判定．3797161
专题：证明题．
分析：求出CE=EH，AC=AH，证△CAF≌△HAF，推出∠ACD=∠AHF，求出∠B=∠ACD=∠FHA，推出HF∥CE，推出CF∥EH，得出平行四边形CFHE，根据菱形判定推出即可．
解答：证明：∵∠ACB=90°，AE平分∠BAC，EH⊥AB，
∴CE=EH，
在Rt△ACE和Rt△AHE中，AC=AC，CE=EH，由勾股定理得：AC=AH，
∵AE平分∠CAB，
∴∠CAF=∠HAF，
在△CAF和△HAF中
∴△CAF≌△HAF（SAS），
∴∠ACD=∠AHF，
∵CD⊥AB，∠ACB=90°，
∴∠CDA=∠ACB=90°，
∴∠B+∠CAB=90°，∠CAB+∠ACD=90°，
∴∠ACD=∠B=∠AHF，
∴FH∥CE，
∵CD⊥AB，EH⊥AB，
∴CF∥EH，
∴四边形CFHE是平行四边形，
∵CE=EH，
∴四边形CFHE是菱形．
点评：本题考查了平行四边形的性质和判定，菱形的判定，三角形的内角和定理，全等三角形的性质和判定，角平分线性质等知识点的应用，主要考查学生综合运用性质进行推理的能力．
（2013•江西）如图，矩形ABCD中，点E、F分别是AB、CD的中点，连接DE和BF，分别取DE、BF的中点、N，连接A，CN，N，若AB=2 ，BC=2 ，则图中阴影部分的面积为 ．
【答案】 2 .
【考点解剖】 本题考查了阴影部分面积的求法，涉及矩形的中心对称性、面积割补法、矩形的面积计算公式等知识，解题思路方法多样，计算也并不复杂，若分别计算再相加，则耗时耗力，仔细观察不难发现阴影部分的面积其实就是原矩形面积的一半（即 ），这种“整体思想”事半功倍，所以平时要加强数学思想、方法的学习与积累．
【解题思路】 △BCN与△AD全等，面积也相等，口DFN与口BEN的面积也相等，所以阴影部分的面积其实就是原矩形面积的一半．
【解答过程】 ，即阴影部分的面积为 .
【方法规律】 仔细观察图形特点，搞清部分与整体的关系，把不规则的图形转化为规则的来计算.
【关键词】 矩形的面积 二次根式的运算 整体思想
（2013•江西）如图，□ABCD与□DCFE的周长相等，且∠BAD=60°，∠F=110°，则∠DAE的度数为 ．
【答案】 25°.
【考点解剖】 本题考查了平行四边形的性质，等腰三角形的判定与性质．
【解题思路】 已知两个平行四边形的周长相等，且有公共边CD,则有AD=DE,即△ADE为等腰三角形，顶角∠ADE=∠BCF=60°+70°=130°,∴∠DAE=25°．
【解答过程】 ∵□ABCD与□DCFE的周长相等，且有公共边CD，
∴AD=DE, ∠ADE=∠BCF=60°+70°=130°.
∴∠DAE= .
【方法规律】 先要明确∠DAE的身份（为等腰三角形的底角），要求底角必须知道另一角的度数，分别将∠BAD=130°转化为∠BCD=130°,∠F=110°转化为∠DCF=70°,从而求得∠ADE=∠BCF=130°.
（2013，河北）．如图4，菱形ABCD中，点，N在AC上，E⊥AD，
NF⊥AB. 若NF = N = 2，E = 3，则AN =
A．3B．4
C．5 D．6
（2013，河北）一个正方形和两个等边三角形的位置如图6所示，若∠3 = 50°，则∠1+∠2 =
A．90°B．100°
C．130° D．180°
（2013，河北）如图11，四边形ABCD中，点，N分别在AB，BC上，
将△BN沿N翻折，得△FN，若F∥AD，FN∥DC，
则∠B = °．
（2013•安徽）图(1) 是四边形纸片ABCD，其中B=120，
D=50。若将其右下角向内折出一PCR，
恰使CP//AB，RC//AD，如图(2)所示，则C 为（ C ）
A．80 B．85 C．95 D．110
（2013•安徽）如图，菱形ABCD的两条对角线分别长6和8，点P是对角线AC上的一个动点，点、N分别是边AB、BC的中点，则P+PN的最小值是________5_____．
1）优惠额：1000×(1－80%)+130=330（元） ………………………………………2分
优惠率： ……………………………………………4分
（2）设购买标价为x元的商品可以得到 的优惠率。购买标价为500元与800元之间的商品时，消费金额a在400元与640元之间。 ………………………5分
解得：
而 ，符合题意。
答：购买标价为750元的商品可以得到 的优惠率。
（2013•上海）在梯形ABCD中，AD∥BC，对角线AC和BD交于点O，下列条件中，
能判断梯形ABCD是等腰梯形的是（ ）
（A）∠BDC =∠BCD；（B）∠ABC =∠DAB；（C）∠ADB =∠DAC；（D）∠AOB =∠BOC．
（2013•昆明）如图，在正方形ABCD中，点P是AB上一动点（不与A、B重合），对角线AC、BD相交于点O，过点P分别作AC、BD的垂线，分别交AC、BD于点E、F，交AD、BC于点、N。下列结论：
① APE≌ AE； ②P＋PN=AC；
③PE2+PF2=PO2； ④ POF∽ BNF；
⑤当 PN∽ AP时，点P是 AB 的中点。其中正确 的结论有（ ）
A. 5个 B.4个 C.3个 D.2个
2013•邵阳）如图所示，点E是矩形ABCD的边AD延长线上的一点，且AD=DE，连结BE交CD于点O，连结AO，下列结论不正确的是（ ）
A．△AOB≌△BOCB．△BOC≌△EODC．△AOD≌△EODD．△AOD≌△BOC
考点：全等三角形的判定；矩形的性质．
分析：根据AD=DE，OD=OD，∠ADO=∠EDO=90°，可证明△AOD≌△EOD，OD为△ABE的中位线，OD=OC，然后根据矩形的性质和全等三角形的性质找出全等三角形即可．
解答：解：∵AD=DE，DO∥AB，
∴OD为△ABE的中位线，
∴OD=OC，
∵在Rt△AOD和Rt△EOD中，
，
∴△AOD≌△EOD（HL）；
∵在Rt△AOD和Rt△BOC中，
，
∴△AOD≌△BOC（HL）；
∵△AOD≌△EOD，
∴△BOC≌△EOD；
故B、C、D均正确．
故选A．
点评：本题考查了全等三角形的判定，判定两个三角形全等的一般方法有：SSS、SAS、ASA、AAS、HL．注意：AAA、SSA不能判定两个三角形全等，判定两个三角形全等时，必须有边的参与，若有两边一角对应相等时，角必须是两边的夹角．
（2013•柳州）如图，四边形ABCD为等腰梯形，AD∥BC，连结AC、BD．在平面内将△DBC沿BC翻折得到△EBC．
（1）四边形ABEC一定是什么四边形？
（2）证明你在（1）中所得出的结论．
考点：等腰梯形的性质；平行四边形的判定；翻折变换（折叠问题）．
分析：（1）首先观察图形，然后由题意可得四边形ABEC一定是平行四边形；
（2）由四边形ABCD为等腰梯形，AD∥BC，可得AB=DC，AC=BD，又由在平面内将△DBC沿BC翻折得到△EBC，可得EC=DC，DB=BE，继而可得：EC=AB，BE=AC，则可证得四边形ABEC是平行四边形．
解答：（1）解：四边形ABEC一定是平行四边形；
（2）证明：∵四边形ABCD为等腰梯形，AD∥BC，
∴AB=DC，AC=BD，
由折叠的性质可得：EC=DC，DB=BE，
∴EC=AB，BE=AC，
∴四边形ABEC是平行四边形．
点评：此题考查了等腰梯形的性质、折叠的性质以及平行四边形的性质．此题难度不大，注意掌握数形结合思想的应用．
（2013•铜仁）如图，在下列条件中，能判断AD∥BC的是( )
A．∠DAC=∠BCA B．∠DCB+∠ABC=180°
C．∠ABD=∠BDC D．∠BAC=∠ACD
（2013•临沂）如图，菱形ABCD中，AB=4，∠B=60°，AE⊥BC，AF⊥CD，垂足分别为E，F，连接EF，则△AEF的面积是 3 ．
考点：菱形的性质；等边三角形的判定与性质
分析：首先利用菱形的性质及等边三角形的判定可得判断出△AEF是等边三角形，再根据三角函数计算出AE=EF的值，再过A作A⊥EF，再进一步利用三角函数计算出A的值，即可算出三角形的面积．
解答：解：∵四边形ABCD是菱形，
∴BC=CD，∠B=∠D=60°，
∵AE⊥BC，AF⊥CD
∴AB•AE=CD•AF，∠BAE=∠DAF=30°，
∴AE=AF，
∵∠B=60°，
∴∠BAD=120°，
∴∠EAF=120°?30°?30°=60°，
∴△AEF是等边三角形，
∴AE=EF，∠AEF=60°，
∵AB=4，
∴AE=2 ，
∴EF=AE=2 ，
过A作A⊥EF，
∴A=AE•cos60°=3，
∴△AEF的面积是： EF•A= ×2 ×3=3 ．
故答案为：3 ．
点评：此题考查菱形的性质，等边三角形的判定及三角函数的运用．关键是掌握菱形的性质，证明△AEF是等边三角形．
（2013•临沂）如图，等腰梯形ABCD中，AD∥BC，DE⊥BC，BD⊥DC，垂足分别为E，D，DE=3，BD=5，则腰长AB= ．
考点：等腰梯形的性质；勾股定理．
分析：利用勾股定理列式求出BE的长，再利用∠CBD的正切值列式求出CD，然后根据等腰梯形的腰长相等解答．
解答：解：∵DE=3，BD=5，DE⊥BC，
∴BE= = =4，
又∵BD⊥DC，
∴tan∠CBD= = ，
即 = ，
解得CD= ，
∵梯形ABCD是等腰梯形，AD∥BC，
∴AB=CD= ．
故答案为： ．
点评：本题考查了等腰梯形的两腰相等，勾股定理的应用，利用锐角三角函数求解更加简便．
（2013•临沂）如图，在△ABC中，AD是BC边上的中线，E是AD的中点，过点A作BC的平行线交BE的延长线于点F，连接CF．
（1）求证：AF=DC；
（2）若AB⊥AC，试判断四边形ADCF的形状，并证明你的结论．
考点：全等三角形的判定与性质；直角三角形斜边上的中线；菱形的判定．
分析：（1）根据AAS证△AFE≌△DBE，推出AF=BD，即可得出答案；
（2）得出四边形ADCF是平行四边形，根据直角三角形斜边上中线性质得出CD=AD，根据菱形的判定推出即可．
解答：（1）证明：∵AF∥BC，
∴∠AFE=∠DBE，
∵E是AD的中点，AD是BC边上的中线，
∴AE=DE，BD=CD，
在△AFE和△DBE中
∴△AFE≌△DBE（AAS），
∴AF=BD，
∴AF=DC．
（2）四边形ADCF是菱形，
证明：∥BC，AF=DC，
∴四边形ADCF是平行四边形，
∵AC⊥AB，AD是斜边BC的中线，
∴AD=DC，
∴平行四边形ADCF是菱形．
点评：本题考查了全等三角形的性质和判定，平行四边形的判定，菱形的判定的应用，主要考查学生的推理能力．
（2013•茂名）如图，矩形ABCD的两条对角线相交于点O， ，AD=2，则AC的长是（ ）
A、2 B、4 C、 D、
（2013•茂名）如图，在□ABCD中，点E是AB变的中点，DE与CB的延长线交于点F.
（1）求证： ；
（2）若DF平分 ，连接CE.试判断CE和DF的位置关系，并说明理由.
（2013•大兴安岭）劳技课上小敏拿出了一个腰长为8厘米,底边为6厘米的等腰三角形，她想用这个等腰三角形加工成一个边长比是1：2的平行四边形，平行四边形的一个内角恰好是这个等腰三角形的底角，平行四边形的其它顶点均在三角形的边上,则这个平行四边形的较短的边长为 .
（2013•大兴安岭） 甲乙两车从A市去往B市，甲比乙早出发了2个小时，甲到达B市后停留一段时间返
回，乙到达B市后立即返回.甲车往返的速度都为40千米/时，乙车往返的速度都为 20千米/时，下图 是两车距A市的路程S(千米)与行驶时间t(小时)之间的函数图象.请结合图像回答下列问题：
（1）A 、B两市的距离是 千米，甲到B市后， 小时乙到达B市；
（2）求甲车返回时的路程S（千米）与时间t(小时)之间的函数关系式，并写出自变量t的取值范围；
（3）请直接写出甲车从B市往回返后再经过几小时两车相距15千米.
得分评卷人
26.（本题满分8分）
（2013•大兴安岭）已知∠ACD=90°,N是过点A的直线，AC=DC,DB⊥N于点B，如图（1）易证BD+AB= CB， 过程如下：过点C做CE⊥CB于点C与N交于点E
∵∠ACB+∠BCD=90°∠ACB+∠ACE=90°∴∠BCD=∠ACE
∵ 四边形ACDB内角和为360°∴∠BDC+∠CAB=180°
∵∠EAC+∠CAB=180°∴∠EAC=∠BDC
又∵AC=DC ∴△ACE≌△DCB ∴AE=DB CE=CB ∴△ECB为等腰直角三角形 ∴BE= CB
又∵BE=AE+AB ∴BE=BD+AB ∴ BD+AB= CB21世纪教育网
(1)当N绕A旋转到如图（2）和图（3）两个位置时，BD、AB、CB满足什么样关系式，请写出你的猜想，并对图（2）给予证明.
(2)N在绕点A旋转过程中当∠BCD=30°，BD= 时，则CD= , CB= .
（2013•大兴安岭）如图，平面直角坐标系中,矩形OABC的对角线AC=12，tan∠ACO= ，
(1)求B、C两点的坐标；
(2)把矩形沿直线DE对折使点C落在点A处，DE与AC相交于点F，求直线DE的解析式；
若点在直线DE上，平面内是否存在点N,使以O、F、、N为顶点的四边形是菱形，若存在，请直接写出点N的坐标；若不存在，请说明理由.
（2013•红河）如图，过正方形ABCD的顶点D作DE∥AC交BC的延长线于点E．
（1）判断四边形ACED的形状，并说明理由；
（2）若BD = 8c，求线段BE的长．
解：（1）四边形ACED是平行四边形． ………………………………1分
理由如下：
∵四边形ABCD是正方形，
∴AD∥BC，即AD∥CE．
∵DE∥AC，
∴四边形ACED是平行四边形． ………………………………3分
（2）由（1）知，BC = AD = CE = CD，
在Rt△BCD中，
令 ，
则 ． ………………………………5分
解得 ， （不符合题意，舍去）．
∴ ． …