逍遥学能 2014-12-16 20:59
古今中外，许多人致力于圆周率的研究与计算。为了计算出圆周率的越来越好的近似值，一代代的数学家为这个神秘的数贡献了无数的时间与心血。十九世纪前，圆周率的计算进展相当缓慢，十九世纪后，计算圆周率的世界纪录频频创新。整个十九世纪，可以说是圆周率的手工计算量最大的世纪。进入二十世纪，随着计算机的发明，圆周率的计算有了突飞猛进。借助于超级计算机，人们已经得到了圆周率的2061亿位精度。历史上最马拉松式的计算，其一是德国的Ludolph Van Ceulen，他几乎耗尽了一生的时间，计算到圆的内接正262边形，于1609年得到了圆周率的35位精度值，以至于圆周率在德国被称为Ludolph数；其二是英国的William Shanks，他耗费了15年的光阴，在1874年算出了圆周率的小数点后707位。可惜，后人发现，他从第528位开始就算错了。把圆周率的数值算得这么精确，实际意义并不大。现代科技领域使用的圆周率值，有十几位已经足够了。如果用Ludolph Van Ceulen算出的35位精度的圆周率值，来计算一个能把太阳系包起来的一个圆的周长，误差还不到质子直径的百万分之一。以前的人计算圆周率，是要探究圆周率是否循环小数。自从1761年Lambert证明了圆周率是无理数，1882年Lindemann证明了圆周率是超越数后，圆周率的神秘面纱就被揭开了。现在的人计算圆周率, 多数是为了验证计算机的计算能力，还有，就是为了兴趣。
圆周率的计算方法
古人计算圆周率，一般是用割圆法。即用圆的内接或外切正多边形来逼近圆的周长。Archimedes用正96边形得到圆周率小数点后3位的精度；刘徽用正3072边形得到5位精度；Ludolph Van Ceulen用正262边形得到了35位精度。这种基于几何的算法计算量大，速度慢，吃力不讨好。随着数学的发展，数学家们在进行数学研究时有意无意地发现了许多计算圆周率的公式。下面挑选一些经典的常用公式加以介绍。除了这些经典公式外，还有很多其他公式和由这些经典公式衍生出来的公式，就不一一列举了。
1、 Machin公式
这个公式由英国天文学教授John Machin于1706年发现。他利用这个公式计算到了100位的圆周率。Machin公式每计算一项可以得到1.4位的十进制精度。因为它的计算过程中被乘数和被除数都不大于长整数，所以可以很容易地在计算机上编程实现。
Machin.c 源程序
还有很多类似于Machin公式的反正切公式。在所有这些公式中，Machin公式似乎是最快的了。虽然如此，如果要计算更多的位数，比如几千万位，Machin公式就力不从心了。下面介绍的算法，在PC机上计算大约一天时间，就可以得到圆周率的过亿位的精度。这些算法用程序实现起来比较复杂。因为计算过程中涉及两个大数的乘除运算，要用FFT(Fast Fourier Transform)算法。FFT可以将两个大数的乘除运算时间由O(n2)缩短为O(nlog(n))。
2、 Ramanujan公式
1914年，印度数学家Srinivasa Ramanujan在他的论文里发表了一系列共14条圆周率的计算公式，这是其中之一。这个公式每计算一项可以得到8位的十进制精度。1985年Gosper用这个公式计算到了圆周率的17,500,000位。
1989年，David & Gregory Chudnovsky兄弟将Ramanujan公式改良成为：
这个公式被称为Chudnovsky公式，每计算一项可以得到15位的十进制精度。1994年Chudnovsky兄弟利用这个公式计算到了4,044,000,000位。Chudnovsky公式的另一个更方便于计算机编程的形式是：
3、AGM(Arithmetic-Geometric Mean)算法
Gauss-Legendre公式：
初值：
重复计算：
最后计算：
这个公式每迭代一次将得到双倍的十进制精度，比如要计算100万位，迭代20次就够了。1999年9月Takahashi和Kanada用这个算法计算到了圆周率的206,158,430,000位，创出新的世界纪录。
4、Borwein四次迭代式：
初值：
重复计算：
最后计算：
这个公式由Jonathan Borwein和Peter Borwein于1985年发表，它四次收敛于圆周率。
5、 Bailey-Borwein-Plouffe算法
这个公式简称BBP公式，由David Bailey, Peter Borwein和Simon Plouffe于1995年共同发表。它打破了传统的圆周率的算法，可以计算圆周率的任意第n位，而不用计算前面的n-1位。这为圆周率的分布式计算提供了可行性。1997年，Fabrice Bellard找到了一个比BBP快40％的公式：
圆周率的计算历史
时间
纪录创造者
小数点后位数
前2000
古埃及人
1
前1200
中国
1
前500
圣经
1
前250
Archimedes
3
263
刘徽
5
480
祖冲之
7
1429
Al-Kashi
14
1593
Romanus
15
1596
Ludolph Van Ceulen
20
1609
Ludolph Van Ceulen
35
1699
Sharp
71
1706
John Machin
100
1719
De Lagny
127(112位正确)
1794
Vega
140
1824
Rutherford
208(152位正确)
1844
Strassnitzky & Dase
200
1847
Clausen
248
1853
Lehmann
261
1853
Rutherford
440
1874
William Shanks
707(527位正确)
20世纪后
年
月
纪录创造者
所用机器
小数点后位数
1946
Ferguson
620
1947
1
Ferguson
710
1947
9
Ferguson & Wrench
808
1949
Smith & Wrench
1,120
1949
Reitwiesner et al
ENIAC
2,037
1954
Nicholson & Jeenel
NORC
3,092
1957
Felton
Pegasus
7,480
1958
1
Genuys
IBM 704
10,000
1958
5
Felton
Pegasus
10,021
1959
Guilloud
IBM 704
16,167
1961
Shanks & Wrench
IBM 7090
100,265
1966
Guilloud & Filliatre
IBM 7030
250,000
1967
Guilloud & Dichampt
CDC 6600
500,000
1973
Guilloud & Bouyer
CDC 7600
1,001,250
1981
Miyoshi & Kanada
FACOM M-200
2,000,036
1982
Guiloud
2,000,050
1982
Tamura
MELCOM 900II
2,097,144
1982
Tamura & Kanada
HITACHI M-280H
4,194,288
1982
Tamura & Kanada
HITACHI M-280H
8,388,576
1983
Kanada, Yoshino & Tamura
HITACHI M-280H
16,777,206
1983
10
Ushiro & Kanada
HITACHI S-810/20
10,013,395
1985
10
Gosper
Symbolics 3670
17,526,200
1986
1
Bailey
CRAY-2
29,360,111
1986
9
Kanada & Tamura
HITACHI S-810/20
33,554,414
1986
10
Kanada & Tamura
HITACHI S-810/20
67,108,839
1987
1
Kanada, Tamura & Kubo et al
NEC SX-2
134,217,700
1988
1
Kanada & Tamura
HITACHI S-820/80
201,326,551
1989
5
Chudnovskys
CRAY-2 & IBM-3090/VF
480,000,000
1989
6
Chudnovskys
IBM 3090
525,229,270
1989
7
Kanada & Tamura
HITACHI S-820/80
536,870,898
1989
8
Chudnovskys
IBM 3090
1,011,196,691
1989
11
Kanada & Tamura
HITACHI S-820/80
1,073,741,799
1991
8
Chudnovskys
2,260,000,000
1994
5
Chudnovskys
4,044,000,000
1995
8
Takahashi & Kanada
HITACHI S-3800/480
4,294,967,286
1995
10
Takahashi & Kanada
6,442,450,938
1997
7
Takahashi & Kanada
51,539,600,000
1999
4
Takahashi & Kanada
68,719,470,000
1999
9
Takahashi & Kanada
HITACHI SR8000
206,158,430,000
圆周率的最新计算纪录
1、新世界纪录
圆周率的最新计算纪录由两位日本人Daisuke Takahashi和Yasumasa Kanada所创造。他们在日本东京大学的IT中心，以Gauss-Legendre算法编写程序，利用一台每秒可执行一万亿次浮点运算的超级计算机，从日本时间1999年9月18日19:00:52起，计算了37小时21分04秒，得到了圆周率的206,158,430,208(3*236)位十进制精度，之后和他们于1999年6月27日以Borwein四次迭代式计算了46小时得到的结果相比，发现最后45位小数有差异，因此他们取小数点后206,158,430,000位的?值为本次计算结果。这一结果打破了他们于1999年4月创造的68,719,470,000位的世界纪录。
2、最后20位
圆周率小数点后206,158,430,000位的最后20位为：
22144 96687 55157 30964
3、 p小数点后2000亿位中各数字出现的次数：
0 : 20000030841 1 : 19999914711
2 : 20000136978 3 : 20000069393
4 : 19999921691 5 : 19999917053
6 : 19999881515 7 : 19999967594
8 : 20000291044 9 : 19999869180
4、一些有趣的数字序列在p小数点后出现的位置
数字序列
出现的位置
01234567891
26,852,899,245
41,952,536,161
99,972,955,571
102,081,851,717
171,257,652,369
01234567890
53,217,681,704
148,425,641,592
432109876543
149,589,314,822
543210987654
197,954,994,289
98765432109
123,040,860,473
133,601,569,485
150,339,161,883
183,859,550,237
09876543210
42,321,758,803
57,402,068,394
83,358,197,954
10987654321
89,634,825,550
137,803,268,208
152,752,201,245
27182818284
45,111,908,393
PC机上的计算
1、PiFast
目前PC机上流行的最快的圆周率计算程序是PiFast。它除了计算圆周率，还可以计算e和sqrt(2)。PiFast可以利用磁盘缓存，突破物理内存的限制进行超高精度的计算，最高计算位数可达240亿位，并提供基于Fabrice Bellard公式的验算功能。
2、 PC机上的最高计算记录
最高记录
12,884,901,372位
时间
2000年10月10日
记录创造者
Shigeru Kondo
所用程序
PiFast ver3.3
机器配置
Pentium III 1G, 1792M RAM，WindowsNT4.0，40GBx2(IDE,FastTrak66)
计算时间
1,884,375秒 (21.8天)
验算时间
29小时
圆周率小数点后1000位
1415926535 8979323846 2643383279 5028841971 6939937510 5820974944 5923078164 0628620899 8628034825 3421170679 8214808651 3282306647 0938446095 5058223172 5359408128 4811174502 8410270193 8521105559 6446229489 5493038196 4428810975 6659334461 2847564823 3786783165 2712019091 4564856692 3460348610 4543266482 1339360726 0249141273 7245870066 0631558817 4881520920 9628292540 9171536436 7892590360 0113305305 4882046652 1384146951 9415116094 3305727036 5759591953 0921861173 8193261179 3105118548 0744623799 6274956735 1885752724 8912279381 8301194912 9833673362 4406566430 8602139494 6395224737 1907021798 6094370277 0539217176 2931767523 8467481846 7669405132 0005681271 4526356082 7785771342 7577896091 7363717872 1468440901 2249534301 4654958537 1050792279 6892589235 4201995611 2129021960 8640344181 5981362977 4771309960 5187072113 4999999837 2978049951 0597317328 1609631859 5024459455 3469083026 4252230825 3344685035 2619311881 7101000313 7838752886 5875332083 8142061717 7669147303 5982534904 2875546873 1159562863 8823537875 9375195778 1857780532 1712268066 1300192787 6611195909 2164201989
圆周率的探索者
Archimedes (BC287 - BC212)
祖冲之 (430 - 501)
Ludolph van Ceulen (1540 - 1610)
John Machin(1680 - 1751)
Johann Heinrich Lambert (1728 - 1777)
Adrien-Marie Legendre (1752 - 1833)
Johann Carl Friedrich Gauss (1777 - 1855)
Carl Louis Ferdinand von Lindemann (1852 - 1939)
Srinivasa Ramanujan(1887 - 1920)
ENIAC (1946)
David & Gregory Chudnovsky
David H. Bailey
Jonathan M. Borwein
Peter Borwein
Simon Plouffe
Fabrice Bellard (1973)
Yasumasa Kanada
从左至右：Eugene Salamin，Yasumasa Kanada, David H. Bailey，William Gosper