漫谈有理数

　　在小学里，同学们学习了自然数、零和分数，现在，又学习了负数。这些数统称为有理数。但是，你想过没有，有理数是怎么产生的？

　　很久很久以前，人类的祖先群居在森林里、山洞中，身上披的是兽皮和树叶，吃的是山上的野兽、树上的野果和水里的鱼，终年靠狩猎为生。那时候，虽然每天猎取的食物不多，但仍然有一个记数的问题。开始，人们只是以”多”和“少来区分。渐渐地，有人想到可以扳着手指头来数（shu）数，因为那时每天狩猎的结果也只是“屈指可数”的水平。再后来，狩猎的工具改进了，水平也提高了，当猎物超过十个以后，“屈指”已不可数，于是又想到在一条绳子上打结来记数。周代（公元前10世纪前后）《易经·系辞》中记载的“上古结绳而治”，指的就是那个远古的时代。又过了不知多少年代，人们渐渐感到“结绳’不但麻烦，而且时间一长往往记不清这些“结”指的是什么了，终于想到要用一些符号来表示各种不同的东西和各种东西的数目，出现了最早的数字。例如，公元前三、四千年我国西安的半坡遗址和公元前近二千年的二里头遗址的陶文中，就有 |  ||  |||  ||||× 或X ∧ 或个 + 八  + |等符号，它们分别表示
                   1  2  3  4  5  6  7  8  70。

　　在殷墟的甲骨文卜辞中，也有许多数字（参见《中国数学的世界之最》一文）。在国外，大约在公元八世纪有一种印度的数字传入阿拉伯，它们是：
      ?  ∧ ∨    10。等等，它们分别表示l：2、工4、5、5、7：8、9、10．这种数字后来由阿拉伯传人欧洲，被欧洲人称作阿拉伯拉字。这些数字符号，在使用过程中经人们不断的改进，最后演变成现在我们所使用的数字。

　　数字的出现，给人们的生产和生活带来了极大的方便。但如何用尽量少的数字来表示那么多的数呢？这个问题，在中国人首先创法了十进位置制记数法以后，才最终得到圆满的解决。

　　打猎有时两人合作才能猎获一只兔子，有时五人合作一共猎获二头羊。如何分配这些食物呢？起初，人们只知道“二分一”、”五分二’；后来，才逐渐形成了分数的概念，记录下来，就是“二分之一”、“五分之二”、... ...，这也是中国人首创的。《周髀算经》中已大量使用分数，《九章算术》（约公元前100～50年）给出了相当完整的分数理论，比欧洲同类著作大约早1400年。我们现在所说的分数除法把除数“颠倒相乘”，就是我国古代教学家刘徽（公元前三世纪）的原话。
 
　　人类对零的认识比较晚。打不到野兽，空手而归，这是最初对“零”的印象──空虚、饥饿、一无所有。在记录这种情况时，各民族大多不约而同地用空位来表示。后来，又用符号“□”表示空位（有人推测这是个空无一物的牲畜栏），慢慢地就演化成现的“0”了。

　　正如伟大导师恩格斯所精辟论断的那样“数和形的概念不是从其他任何地方，而是从现实世界中得来的”。

　　在小学教学中，算式“2-3”给我们的印象是“不够减”。但学习了《有理教》的知识以后，我们就能解决这个问题了。有理数包括正数、负数和0。正负效的概念也是从生产实际的需要中产生的。生产发展了，一方面，人们的“财富”多起来，同时也促使人们“互通有无”，进行交换。于是，人们把私有财产记为正，欠债记为负；收入记为正，支出记为负；运进记为正，运出记为负；超出记为正，不足记为负... ...人们从这些具有相反意义的量中抽象出了正数和负数的概念。负数是相对于正数而言的。正数和负数既相互对立，又相互依存。我们的祖先不仅最早认识到负数的存在，而且总结出正负数的加减运算法则（如《九章算术》），这在当时也是一件具有世界意义的重大创造。

    由于生产实践的需要，随着科学技术的发展，数的概念一直在不断地扩充。目前，对于人类已经掌握的数的概念，其关系可综述为：

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