逍遥学能 2014-11-28 11:09
一、选择题
1.(2010湖北文)用，，表示三条不同的直线，表示平面，给出下列命题：
①若∥，∥，则∥； ②若⊥，⊥，则⊥；
③若∥，∥，则∥； ④若⊥，⊥，则∥.
其中真命题的序号是( ).
A.①② B.②③ C.①④ D.③④
考查目的：考查空间直线与直线、直线与平面的平行和垂直的转化关系.
答案：C.
解析：由公理4知①是真命题.在空间内，⊥，⊥，直线，的关系不确定，故②是假命题．
由∥，∥，不能判定，的关系，故③是假命题.④是直线与平面垂直的性质定理.
2.(2011浙江理)下列命题中错误的是( ).
A.如果平面⊥平面，那么平面内一定存在直线平行于平面
B.如果平面不垂直于平面，那么平面内一定不存在直线垂直于平面
C.如果平面⊥平面，平面⊥平面，，那么⊥平面
D.如果平面⊥平面，那么平面内所有直线都垂直于平面
考查目的：本题考查空间平面与平面垂直的性质.
答案：D.
解析：如果平面⊥平面，那么平面内垂直于交线的直线都垂直于平面，其它与交线不垂直的直线均不与平面垂直，故D项叙述是错误的.
3.(2011北京理)某四面体的三视图如图所示，该四面体四个面的面积中最大的是( ).
A.8 B. C.10 D.
考查目的：考查直线与平面垂直的判定，和空间想象能力.
答案：C.
解析：该四面体的直观图，如图，，，PA=4，AB=4，BC=3，该四面体的四个面都是直角三角形，四个面的面积分别为，，故最大面积为10.
二、填空题
4.(2007四川理)如图，在正三棱柱中，侧棱长为，底面三角形的边长为1，则与侧面所成的角是 ．
考查目的：考查直线和平面所成角的求法.
答案：.
解析：作于点，则为与侧面所成的角，在直角中，，，∴，∴．
5.(2007江苏理改编)已知两条直线，，两个平面，，给出下面四个命题：
①∥，⊥⊥； ②∥，，∥；
③∥，∥∥； ④∥，∥，⊥⊥.
其中正确命题的序号是 .
考查目的：考查空间直线与平面的垂直和平行关系的判定.
答案：①④.
解析：①，④可由直线和平面垂直的定义和性质推证，根据②中的条件可得与平行或异面，③中有可能在内.
6.(2012辽宁理)已知正三棱锥，点P，A，B，C都在半径为的球面上，若PA，PB，PC两两互相垂直，则球心到截面ABC的距离为________.
考查目的：考查空间几何体中直线与平面的位置关系.
答案：.
解析：∵在正三棱锥中，PA，PB，PC两两互相垂直，∴可以把该正三棱锥看作为一个正方体的一部分(如图)，此正方体内接于球，正方体的体对角线为球的直径，球心为正方体对角线的中点.球心到截面ABC的距离为球的半径减去正三棱锥在面ABC上的高.已知球的半径为，∴正方体的棱长为2，可求得正三棱锥在面ABC上的高为，∴球心到截面ABC的距离为.
三、解答题
7.(2011天津改编)如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为平行四边形，∠ADC＝，AD＝AC＝1，O为AC的中点，PO⊥平面ABCD. 证明：AD⊥平面PAC.
考查目的：考查直线和平面垂直的判定.
答案：(略).
解析：∵∠ADC＝，且AD＝AC＝1，∴∠DAC＝，即AD⊥AC.
又∵PO⊥平面ABCD，AD?平面ABCD，∴PO⊥AD，而AC∩PO＝O，∴AD⊥平面PAC.
8.(2011江苏)如图，在四棱锥P-ABCD中，平面PAD⊥平面ABCD，AB＝AD，∠BAD＝，E，F分别是AP，AD的中点．求证：
⑴直线EF∥平面PCD；⑵平面BEF⊥平面PAD.
考查目的：考查直线与平面，平面与平面的垂直关系间的联系与转化.
解析：⑴在△PAD中，∵E，F分别为AP，AD的中点，∴EF∥PD.又∵EF平面PCD，PD?平面PCD，∴直线EF∥平面PCD.
⑵如图，连结BD. ∵AB＝AD，∠BAD＝，∴△ABD为正三角形. ∵F是AD的中点，∴BF⊥AD. ∵平面PAD⊥平面ABCD，BF?平面ABCD，平面PAD∩平面ABCD＝AD，∴BF⊥平面PAD.又∵BF?平面BEF，∴平面BEF⊥平面PAD.