逍遥学能 2014-11-27 14:04
（2013•广东）如题22图，矩形ABCD中,以对角线BD为一边构造一个矩形BDEF,使得另一边EF过原矩形的顶点C.
(1)设Rt△CBD的面积为S1, Rt△BFC的面积为S2, Rt△DCE的面积为S3 ,
则S1______ S2+ S3(用“>”、“=”、“<”)；
（2）写出题22图中的三对相似三角形，并选择其中一对进行证明.
（1） S1= S2+ S3；
（2）△BCF∽△DBC∽△CDE;
选△BCF∽△CDE
证明:在矩形ABCD中,∠BCD=90°且点C在边EF上,∴∠BCF+∠DCE=90°
在矩形BDEF中,∠F=∠E=90°,∴在Rt△BCF中，∠CBF+∠BCF=90°
∴∠CBF=∠DCE,∴△BCF∽△CDE.
（2013•珠海）如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，点P为AC边上的一点，将线段AP绕点A顺时针方向旋转（点P对应点P′），当AP旋转至AP′⊥AB时，点B、P、P′恰好在同一直线上，此时作P′E⊥AC于点E．
（1）求证：∠CBP=∠ABP；
（2）求证：AE=CP；
（3）当 ，BP′=5 时，求线段AB的长．
考点：全等三角形的判定与性质；角平分线的性质；勾股定理；相似三角形的判定与性质．3481324
专题：几何综合题．
分析：（1）根据旋转的性质可得AP=AP′，根据等边对等角的性质可得∠APP′=∠AP′P，再根据等角的余角相等证明即可；
（2）过点P作PD⊥AB于D，根据角平分线上的点到角的两边的距离相等可得CP=DP，然后求出∠PAD=∠AP′E，利用“角角边”证明△APD和△P′AE全等，根据全等三角形对应边相等可得AE=DP，从而得证；
（3）设CP=3k，PE=2k，表示出AE=CP=3k，AP′=AP=5k，然后利用勾股定理列式求出P′E=4k，再求出△ABP′和△EPP′相似，根据相似三角形对应边成比例列式求出P′A= AB，然后在Rt△ABP′中，利用勾股定理列式求解即可．
解答：（1）证明：∵AP′是AP旋转得到，
∴AP=AP′，
∴∠APP′=∠AP′P，
∵∠C=90°，AP′⊥AB，
∴∠CBP+∠BPC=90°，∠ABP+∠AP′P=90°，
又∵∠BPC=∠APP′（对顶角相等），
∴∠CBP=∠ABP；
（2）证明：如图，过点P作PD⊥AB于D，
∵∠CBP=∠ABP，∠C=90°，
∴CP=DP，
∵P′E⊥AC，
∴∠EAP′+∠AP′E=90°，
又∵∠PAD+∠EAP′=90°，
∴∠PAD=∠AP′E，
在△APD和△P′AE中， ，
∴△APD≌△P′AE（AAS），
∴AE=DP，
∴AE=CP；
（3）解：∵ = ，
∴设CP=3k，PE=2k，
则AE=CP=3k，AP′=AP=3k+2k=5k，
在Rt△AEP′中，P′E= =4k，
∵∠C=90°，P′E⊥AC，
∴∠CBP+∠BPC=90°，∠EP′P+∠P′PE=90°，
∵∠BPC=∠EPP′（对顶角相等），
∴∠CBP=∠P′PE，
又∵∠BAP′=∠P′EP=90°，
∴△ABP′∽△EPP′，
∴ = ，
即 = ，
解得P′A= AB，
在Rt△ABP′中，AB2+P′A2=BP′2，
即AB2+ AB2=（5 ）2，
解得AB=10．
点评：本题考查了全等三角形的判定与性质，旋转的性质，角平分线上的点到角的两边的距离相等的性质，勾股定理，相似三角形的判定与性质，（2）作辅助线构造出过渡线段DP并得到全等三角形是解题的关键，（3）利用相似三角形对应边成比例求出P′A= AB是解题的关键．
（2013•哈尔滨） 如图，在△ABC中，、N分别是边AB、AC的中点，则△AN的面积与四边形BCN的面积比为( )．
(A) (B) (C) (D)
（2013•哈尔滨）如图，在平面直角坐标系中，点0为坐标原点，A点的坐标为(3，0)，以0A为边作等边三角形OAB，点B在第一象限，过点B作AB的垂线交x轴于点C．动点P从0点出发沿0C向C点运动，动点Q从B点出发沿BA向A点运动，P,Q两点同时出发，速度均为1个单位／秒。设运动时间为t秒．
(1)求线段BC的长；
(2)连接PQ交线段OB于点E，过点E作x轴的平行线交线段BC于点F。设线段EF的长为，求与t之间的函数关系式，并直接写出自变量t的取值范围：
(3)在(2)的条件下，将△BEF绕点B逆时针旋转得到△BE1F1,使点E的对应点E1落在线段AB上，点F的对应点是F1，E1F1交x轴于点G，连接PF、QG，当t为何值时，2BQ-PF= QG?
（2013•哈尔滨）已知：△ABD和△CBD关于直线BD对称(点A的对称点是点C)，点E、F分别是线段BC
和线段BD上的点，且点F在线段EC的垂直平分线上，连接AF、AE，AE交BD于点G．
(1)如图l，求证：∠EAF=∠ABD；
(2)如图2，当AB=AD时，是线段AG上一点，连接B、ED、F，F的延长线交ED于点N，∠BF= ∠BAF，AF= AD，试探究线段F和FN之间的数量关系，并证明你的结论．
（2013•牡丹江）如图，在△ABC中∠A=60°，B⊥AC于点，CN⊥AB于点N，P为BC边的中点，连接P，PN，则下列结论：①P=PN；② ；③△PN为等边三角形；④当∠ABC=45°时，BN= PC．其中正确的个数是（ ）
A．1个B．2个C．3个D．4个
考点：相似三角形的判定与性质；等边三角形的判定；直角三角形斜边上的中线．3718684
分析：根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可判断①正确；
先证明△AB∽△ACN，再根据相似三角形的对应边成比例可判断②正确；
先根据直角三角形两锐角互余的性质求出∠AB=∠ACN=30°，再根据三角形的内角和定理求出∠BCN+∠CB=60°，然后根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和求出∠BPN+∠CP=120°，从而得到∠PN=60°，又由①得P=PN，根据有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形可判断③正确；
当∠ABC=45°时，∠BCN=45°，由P为BC边的中点，得出BN= PB= PC，判断④正确．
解答：解：①∵B⊥AC于点，CN⊥AB于点N，P为BC边的中点，
∴P= BC，PN= BC，
∴P=PN，正确；
②在△AB与△ACN中，
∵∠A=∠A，∠AB=∠ANC=90°，
∴△AB∽△ACN，
∴ ，正确；
③∵∠A=60°，B⊥AC于点，CN⊥AB于点N，
∴∠AB=∠ACN=30°，
在△ABC中，∠BCN+∠CB?180°?60°?30°×2=60°，
∵点P是BC的中点，B⊥AC，CN⊥AB，
∴P=PN=PB=PC，
∴∠BPN=2∠BCN，∠CP=2∠CB，
∴∠BPN+∠CP=2（∠BCN+∠CB）=2×60°=120°，
∴∠PN=60°，
∴△PN是等边三角形，正确；
④当∠ABC=45°时，∵CN⊥AB于点N，
∴∠BNC=90°，∠BCN=45°，
∴BN=CN，
∵P为BC边的中点，
∴PN⊥BC，△BPN为等腰直角三角形
∴BN= PB= PC，正确．
故选D．
点评：本题主要考查了直角三角形30°角所对的直角边等于斜边的一半的性质，相似三角形、等边三角形、等腰直角三角形的判定与性质，等腰三角形三线合一的性质，仔细分析图形并熟练掌握性质是解题的关键．
（2013•牡丹江）如图，在△ABC中，D是AB边上的一点，连接CD，请添加一个适当的条件 ∠ACD=∠ABC（答案不唯一） ，使△ABC∽△ACD．（只填一个即可）
考点：相似三角形的判定．3718684
专题：开放型．
分析：相似三角形的判定有三种方法：
①三边法：三组对应边的比相等的两个三角形相似；
②两边及其夹角法：两组对应边的比相等且夹角对应相等的两个三角形相似；
③两角法：有两组角对应相等的两个三角形相似．
由此可得出可添加的条件．
解答：解：由题意得，∠A=∠A（公共角），
则可添加：∠ACD=∠ABC，利用两角法可判定△ABC∽△ACD．
故答案可为：∠ACD=∠ABC．
点评：本题考查了相似三角形的判定，解答本题的关键是熟练掌握三角形相似的三种判定方法，本题答案不唯一．
（2013•乌鲁木齐）如图，AB∥GH∥CD，点H在BC上，AC与BD交于点G，AB=2，CD=3，则GH的长为 ．
考点：平行线分线段成比例．3797161
分析：根据平行线分线段成比例定理，由AB∥GH，得出 = ，由GH∥CD，得出 = ，将两个式子相加，即可求出GH的长．
解答：解：∵AB∥GH，
∴ = ，即 = ①，
∵GH∥CD，
∴ = ，即 = ②，
①+②，得 + = + ，
∵CH+BH=BC，
∴ + =1，
解得GH= ．
故答案为 ．
点评：本题考查了平行线分线段成比例定理，熟练运用等式的性质进行计算．本题难度适中．
（2013•安徽）如图，在直角坐标系中，已知点P0的坐标为（1，0），将线段OP0按逆时针方向旋转45°，将其长度伸长为OP0的2倍，得到线段OP1；再将线段OP1按逆时针方向旋转45°，长度伸长为OP1的2倍，得到线段OP2；如此下去，得到线段OP3，OP4，…，OPn（n为正整数）
（1）求点P6的坐标；（2）求△P5OP6的面积；
（3）我们规定：把点Pn（xn，yn）（n=0，1，2，3，…）的横坐标xn、纵坐标yn都取绝对值后得到的新坐标（xn， yn）称之为点Pn的“绝对坐标”．根据图中点Pn的分布规律，请你猜想点Pn的“绝对坐标”，并写出来．
1）根据旋转规律，点P6落在y轴的负半轴，而点Pn到坐标原点的距离始终等于前一个点到原点距离的 倍，故其坐标为P6（0，26），即P6（0，64）；
（2）由已知可得，△P0OP1∽△P1OP2∽…∽△Pn－1OPn．
设P1（x1，y1），则y1=2sin45°= ，∴S△P0OP1= ×1× = ，又
（3）由题意知，OP0旋转 次之后回到x轴正半轴，在这 次中，点Pn分别落在坐标象限的平分线上或x轴或y轴上，但各点绝对坐标的横、纵坐标均为非负数，因此，点Pn的坐标可分三类情况：令旋转次数为n，
①当n=8k或n=8k+4时（其中k为自然数），点Pn落在x轴上，此时，点Pn的绝对坐标为（2n，0）；
②当n=8k+1或n=8k+3或n=8k+5或n=8k+7时（其中k为自然数），点Pn落在各象限的平分线上，此时，点Pn的绝对坐标为（ ×2n， ×2n），即（2n—1 ，2n—1 ）；
③当n=8k+2或n=8k+6时（其中k为自然数），点Pn落在y轴上，
此时，点Pn的绝对坐标为（0，2n）．
（2013•上海）如图1，已知在△ABC中，点D、E、F分别是边AB、AC、BC上的点，
DE∥BC，EF∥AB，且AD∶DB = 3∶5，那么CF∶CB等于（ ）
（A） 5∶8 ； （B）3∶8 ； （C） 3∶5 ； （D）2∶5．
（2013•邵阳）如图所示，在Rt△ABC中，AB=BC=4，∠ABC=90°，点P是△ABC的外角∠BCN的角平分线上一个动点，点P′是点P关于直线BC的对称点，连结PP′交BC于点，BP′交AC于D，连结BP、AP′、CP′．
（1）若四边形BPCP′为菱形，求B的长；
（2）若△BP′∽△ABC，求B的长；
（3）若△ABD为等腰三角形，求△ABD的面积．
考点：相似形综合题．
分析：（1）由菱形的性质可知，点为BC的中点，所以B可求；
（2）△ABC为等腰直角三角形，若△BP′∽△ABC，则△BP′必为等腰直角三角形．证明△BP′、△BP、△BPP′均为等腰直角三角形，则BP=BP′；证明△BCP为等腰三角形，BP=BC，从而BP′=BC=4，进而求出B的长度；
（3）△ABD为等腰三角形，有3种情形，需要分类讨论计算．
解答：解：（1）∵四边形BPCP′为菱形，而菱形的对角线互相垂直平分，
∴点为BC的中点，
∴B= BC= ×4=2．
（2）△ABC为等腰直角三角形，若△BP′∽△ABC，
则△BP′必为等腰直角三角形，B=P′．
由对称轴可知，P=P′，PP′⊥BC，则△BP为等腰直角三角形，
∴△BPP′为等腰直角三角形，BP′=BP．
∵∠CBP=45°，∠BCP= （180°?45°）=67.5°，
∴∠BPC=180°?∠CBP?∠BCP=180°?45°?67.5°=67.5°，
∴∠BPC=∠BCP，
∴BP=BC=4，
∴BP′=4．
在等腰直角三角形BP′中，斜边BP′=4，
∴B= BP′= ．
（3）△ABD为等腰三角形，有3种情形：
①若AD=BD，如题图②所示．
此时△ABD为等腰直角三角形，斜边AB=4，
∴S△ABD= AD•BD= × × =4；
②若AD=AB，如下图所示：
过点D作DE⊥AB于点E，则△ADE为等腰直角三角形，
∴DE= AD= AB=
∴S△ABD= AB•DE= ×4× = ；
③若AB=BD，则点D与点C重合，可知此时点P、点P′、点均与点C重合，
∴S△ABD=S△ABC= AB•BC= ×4×4=8．
点评：本题是几何综合题，考查了相似三角形的性质、等腰直角三角形、等腰三角形、菱形、勾股定理等知识点，难度不大．第（3）问考查了分类讨论的数学思想，是本题的难点．
（2013•柳州）小明在测量楼高时，先测出楼房落在地面上的影长BA为15米（如图），然后在A处树立一根高2米的标杆，测得标杆的影长AC为3米，则楼高为（ ）
A．10米B．12米C．15米D．22.5米
考点：相似三角形的应用．
专题：．
分析：在同一时刻物高和影长成正比，即在同一时刻的两个物体，影子，经过物体顶部的太阳光线三者构成的两个直角三角形相似．根据相似三角形的对应边的比相等，即可求解．
解答：解：∵ =
即 = ，
∴楼高=10米．
故选A．
点评：本题考查了相似三角形在测量高度时的应用，解题时关键是找出相似的三角形，然后根据对应边成比例列出方程，建立适当的数学模型来解决问题．
（2013•临沂）如图，矩形ABCD中，∠ACB=30°，将一块直角三角板的直角顶点P放在两对角线AC，BD的交点处，以点P为旋转中心转动三角板，并保证三角板的两直角边分别于边AB，BC所在的直线相交，交点分别为E，F．
（1）当PE⊥AB，PF⊥BC时，如图1，则 的值为 ；
（2）现将三角板绕点P逆时针旋转α（0°＜α＜60°）角，如图2，求 的值；
（3）在（2）的基础上继续旋转，当60°＜α＜90°，且使AP：PC=1：2时，如图3， 的值是否变化？证明你的结论．
考点：几何变换综合题
分析：（1）证明△APE≌△PCF，得PE=CF；在Rt△PCF中，解直角三角形求得 的值；
（2）如答图1所示，作辅助线，构造直角三角形，证明△PE∽△PNF，并利用（1）的结论，求得 的值；
（3）如答图2所示，作辅助线，构造直角三角形，首先证明△AP∽△PCN，求得 的值；然后证明△PE∽△PNF，从而由 求得 的值．与（1）（2）问相比较， 的值发生了变化．
解答：解：（1）∵矩形ABCD，
∴AB⊥BC，PA=PC；
∵PE⊥AB，BC⊥AB，
∴PE∥BC，
∴∠APE=∠PCF；
∵PF⊥BC，AB⊥BC，
∴PF∥AB，
∴∠PAE=∠CPF．
∵在△APE与△PCF中，
∴△APE≌△PCF（ASA），
∴PE=CF．
在Rt△PCF中， =tan30°= ，
∴ = ．
（2）如答图1，过点P作P⊥AB于点，PN⊥BC于点N，则P⊥PN．
∵P⊥PN，PE⊥PF，
∴∠EP=∠FPN，
又∵∠PE=∠PNF=90°，
∴△PE∽△PNF，
∴ ．
由（1）知， = ，
∴ = ．
（3）答：变化．
证明：如答图2，过点P作P⊥AB于点，PN⊥BC于点N，则P⊥PN，P∥BC，PN∥AB．
∵P∥BC，PN∥AB，
∴∠AP=∠PCN，∠PA=∠CPN，
∴△AP∽△PCN，
∴ ，得CN=2P．
在Rt△PCN中， =tan30°= ，∴ = ．
∵P⊥PN，PE⊥PF，
∴∠EP=∠FPN，
又∵∠PE=∠PNF=90°，
∴△PE∽△PNF，
∴ = ．
∴ 的值发生变化．
点评：本题是几何综合题，考查了相似三角形的判定与性质、矩形的性质、全等三角形的判定与性质、解直角三角形等知识点．本题三问的解题思路是一致的：即都是直接或作辅助线构造直角三角形，通过相似三角形或全等三角形解决问题．
（2013•重庆B）已知 ∽ ，若 与 的相似比为3：4，则 与 的面积之比为
A.4：3 B.3：4 C.16：9 D.9：16