逍遥学能 2014-11-23 18:22
【编者按】高中数学集合是高一新生入学接触高中数学的第一门功课。也是最容易混淆的知识点之一、、、具体详情请进入高中频道
高中数学集合常考知识点总结（1）
●难点磁场
(★★★★★)已知集合A={(x,y)x2+mx-y+2=0},B={(x,y)x-y+1=0,且0≤x≤2},如果A∩B≠ ,求实数m的取值范围.
●案例探究
[例1]设A={(x,y)y2-x-1=0},B={(x,y)4x2+2x-2y+5=0},C={(x,y)y=kx+b},是否存在k、b∈N,使得(A∪B)∩C= ，证明此结论.
命题意图：本题主要考查考生对集合及其符号的分析转化能力，即能从集合符号上分辨出所考查的知识点，进而解决问题.属★★★★★级题目.
知识依托：解决此题的闪光点是将条件(A∪B)∩C= 转化为A∩C= 且B∩C= ，这样难度就降低了.
错解分析：此题难点在于考生对符号的不理解，对题目所给出的条件不能认清其实质内涵，因而可能感觉无从下手.
技巧与方法：由集合A与集合B中的方程联立构成方程组，用判别式对根的情况进行限制，可得到b、k的范围，又因b、k∈N,进而可得值.
解：∵(A∪B)∩C= ，∴A∩C= 且B∩C=
∵ ∴k2x2+(2bk-1)x+b2-1=0
∵A∩C=
∴Δ1=(2bk-1)2-4k2(b2-1)<0
∴4k2-4bk+1<0,此不等式有解，其充要条件是16b2-16>0,即b2>1 ①
∵
∴4x2+(2-2k)x+(5+2b)=0
∵B∩C= ,∴Δ2=(1-k)2-4(5-2b)<0
∴k2-2k+8b-19<0,从而8b<20,即b<2.5 ②
由①②及b∈N,得b=2代入由Δ1<0和Δ2<0组成的不等式组，得
∴k=1,故存在自然数k=1,b=2,使得(A∪B)∩C= .
[例2]向50名学生调查对A、B两事件的态度，有如下结果：赞成A的人数是全体的五分之三，其余的不赞成，赞成B的比赞成A的多3人，其余的不赞成;另外，对A、B都不赞成的学生数比对A、B都赞成的学生数的三分之一多1人.问对A、B都赞成的学生和都不赞成的学生各有多少人?
命题意图：在集合问题中，有一些常用的方法如数轴法取交并集，韦恩图法等，需要考生切实掌握.本题主要强化学生的这种能力.属★★★★级题目.
知识依托：解答本题的闪光点是考生能由题目中的条件，想到用韦恩图直观地表示出来.
错解分析：本题难点在于所给的数量关系比较错综复杂，一时理不清头绪，不好找线索.
技巧与方法：画出韦恩图，形象地表示出各数量关系间的联系.
解：赞成A的人数为50× =30，赞成B的人数为30+3=33，如上图，记50名学生组成的集合为U，赞成事件A的学生全体为集合A;赞成事件B的学生全体为集合B.
设对事件A、B都赞成的学生人数为x,则对A、B都不赞成的学生人数为 +1,赞成A而不赞成B的人数为30-x，赞成B而不赞成A的人数为33-x.
依题意(30-x)+(33-x)+x+( +1)=50,解得x=21.
所以对A、B都赞成的同学有21人，都不赞成的有8人.