逍遥学能 2014-11-19 18:05
让未知数参加运算，列出代数式，顺利地解决了“猴子分桃”问题。我国数学家张广厚小时候曾解过一道有趣的“吃面包”问题：
一个大人一餐吃4个面包，四个小孩一餐合吃一个面包。现有大人和小孩共100人，一餐刚好吃100个面包，问大人、小孩各有几人？
按照算术解法，解题步骤可以是这样：
(1)若100人全是大人，需要几个面包？
4×100=400（个）。
(2)实际上比这个数目少吃几个面包？
400个-100个=300个。
(3)把一个大人换成一个小孩，可省下几个面包？
。
(4)为了少吃掉300个面包，要把多少个大人换成小孩？
。
所以，有80个小孩，20个大人。
这个解题步骤颇费思索。而代数解法就直接了当：
设有x个大人，那么小孩有（100-x）个。根据题意，大人一餐吃4个面包，小孩一餐吃只面包，所以大人和小孩共吃 个面包。但他们一餐刚好吃掉100个面包，所以得到方程 。
解这个方程，得到x=20。
所以有20个大人，80个小孩。
对于下面的问题，同学们先试着自己用算术方法和代数方法来解，再看题后的答案。
初一（2）班有50个同学，集体去看电影。乙种标价每张1元，甲种标价每张1元五角。买票共用去62元。问两种票各买了多少张？
用算术方法解：
如果50张票全是前排的，那么总价应该是
1元×50=50元。
可现在共用去62元，超出了
62元- 50元= 12元。
为什么会超出12元钱呢？这是因为，实际买的票不完全是1元的。有一部分是1.5元的。如果把一张1元的票换成1.5元的票，需多付
1.5元-1元=0.5元。
现在一共多付了12元，显然，1.5元票的张数应为
12元÷0.5元= 24（张）。
由此不难求出1元的票有
50－24＝26（张）。
把上面的思路写成完整的算式是
（62-1×50）÷（1.5－l）
=12÷0.5
＝24（张）。 …票价1.5元的张数。
∴票价是1元的有
50-24= 26（张）。
用代数方法来解：
设1元的票买了x张，则1.5元的票为（50-x）张。
根据总票价，可得如下含未知数的等式：
x＋1.5（50-x）= 62。
解这个方程，得x＝26（张）。 ……l元票的张数。
50-x＝50-26＝24（张）。 ……1.5元票的张数。
显然，上面两种解法中，代数解法要比算术解法容易得多。一般说来，用代数方法解应用题，要比算术方法优越。这是什么原因？因为算术解法始终使未知数处于一种特殊的地位，在解题过程中，一般由已知数作先导，一步步地向前探索，直到解题基本结束时，才建立起要求的那个未知数与已知数之间的关系，这样做比较费力。代数解法首先用字母代替未知数，从而使未知数与已知数在考虑所有的数量关系中，始终处于平等的地位，比较容易找到反映等量的关系，从而得到解答。所以，算术方法思路比较狭窄，代数方法则比较开阔平坦。
还需要强调一点。初中和小学数学中遇到的应用题一般都是比较简单的，如果能用算术方法解，虽说比代数方法繁，但毕竟还是能解的。在科学技术和工农业生产中提出的许多数学问题很复杂，这些复杂的问题用算术方法几乎无法去解。这时，方程的优越性就更加显示出来了，这点，同学们以后会有体会的。