逍遥学能 2014-10-29 19:54
高三理科数学
第Ⅰ卷 （ 50分）
一、（本大题共10小题，每小题5分，共50分. 在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1. 已知复数 满足 ，那么复数 的虚部为（ ）
A. 1 B. C. D.
2. 已知 ， ，则 （ ）
A. B. C. D.
3. 下列四个命题中，假命题为（ ）
A. 存在 ，使 B.存在 ，使
C. 任意 ，使 D. 任意 ，使
4. 已知向量 ， ，若A，B，C是锐角 的三个内角，则 与 的夹角为（ ）
A.锐角 B. 直角 C. 钝角 D. 以上都不对
5. 从一个棱长为1的正方体中切去一部分，得到一个几何体，其三视图如下图，则该几何体的体积为（ ）
A. B. C. D.
6. 执行如下图所示的程序框图，则输出 的结果是（ ）
A. 6 B. 8 C. 10 D. 12
7. 定义运算 * ，则函数 的图像是（ ）
8. 已知数组 ， ，…， 满足线性回归方程 ，则“ 满足线性回归方程 ”是“ ， ”的（ ）
A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件
C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
9. 若圆 ： 关于直线 对称，则 的最小值是（ ）
A. 2 B. C. D.
10. 如图，是中国西安世界园艺博览会某区域的绿化美化示意图，其中A、B、C、D是被划分的四个区域，现用红、黄、蓝、白4种不同颜色的花选栽，要求每个区域只能栽同一种花，允许同一颜色的花可以栽在不同的区域，但相邻的区域不能栽同一色花，则A、D两个区域都栽种红花的概率是（ ）
A. B. C. D.
第Ⅱ卷（非选择题 共100分）
二、题：（本小题共5小题，每小题5分，共25分，将答案填写在题中的横线上）
11. 在二项式 的展开式中，各项系数之和为 ，各项二项式系数之和为 ，且
，则 .
12. 设 是定义在R上最小正周期为 的函数，且在 上 ，则 的值为 .
13. 有一个奇数列1, 3, 5, 7, 9，…，现在进行如下分组：第一组含一个数 ，第二组含两个数 ，第三组含三个数 ，第四组含四个数 ，…，现观察猜想每组内各数之和为 与其组的编号数 的关系为 .
14. 设椭圆 的中心、右焦点、右顶点依次分别为 、 、 ，且直线 与 轴相交于点 ，则 最大时椭圆的离心率为 .
15. （考生注意：请在下列三道试题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题评阅记分）
A.（不等式选做题）若不等式 对一切非零实数 恒成立，则实数 的取值范围为 .
B.（几何证明选做题）如右图，直角三角形 中， ， ，以 为直径的圆交 边于点 ， ，则 的大小为 .
C.（极坐标与参数方程选做题）若直线 的极坐标方程为 ，圆 ： （ 为参数）上的点到直线 的距离为 ，则 的最大值为 .
三、解答题：（本大题共6小题，共75分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）
16. （本大题满分12分）
已知函数 （其中 ）的图像如图所示.
（1）求函数 的解析式；
（2）求函数 的零点.
17.（本大题满分12分）
已知等比数列 中， 是 与 的等差中项，且 ， .
（1）求数列 的通项公式；
（2）已知数列 满足： ，（ ），求数列 前 项和
18. （本小题满分12分）
如图直三棱柱 中， ， 是 上一点，且 平面 .
（1）求证： 平面 ；
（2）在棱 是否存在一点 ，使平面 与平面 的夹角等于 ，若存在，试确定 点的位置，若不存在，请说明理由.
19.（本小题满分12分）
某批发市场对某种商品的日销售量（单位：吨）进行统计，最近50天的统计结果如下：
若以下表频率作为概率，且每天的销售量相互独立.
日销售量11.52
频数102515
频率0.2
（1）求 的值
（2）5天中该种商品恰好有2天的销售量为1.5吨的概率；
（3）已知每吨该商品的销售利润为2千元， 表示该种商品两天销售利润的和（单位：千元），求 的分布列及数学期望
20.（本小题满分13分）
已知抛物线 ，过点 （其中 为正常数）任意作一条直线 交抛物线 于 两点， 为坐标原点.
（1）求 的值；
（2）过 分别作抛物线 的切线 ，试探求 与 的交点是否在定直线上，证明你的结论.
21. （本小题满分14分）
已知函数 ， .
（1）若直线 交 的图像 于 两点，与 平行的另一条直线 切图像于 ，求证： 三点的横坐标成等差数列；
（2）若不等式 恒成立，求 的取值范围；
（3）求证： （其中 为无理数，约为2.71828）.
理科数学答案
一、选择题
题号12345678910
答案BDDACBDBAA
二．题
11． ； 12. ； 13. ； 14. ；
15．A. ；B. ; C. .
三、解答题
16．解：（Ⅰ）由图知 , ,
∴ ……………3分
∴ 又∵
∴sin( )=1, ∴ = ,j= + ,(kÎZ)
∵ ,∴j=
∴函数的解析式为 ……………6分
（Ⅱ）由（Ⅰ）知： ，
∴ ……………9分
即
∴函数 的零点为 ……………12分
17．解：(I)由已知得
……………6分
(II)当 时 ，
因为
当 ≥ 时
两式相减得 ，得 . ……………10分
……………12分
18．证明：（Ⅰ）∵ 平面 ，∴ .
∵ 是直三棱柱，∴ 平面 ，∴ .
∵ ， 平面 , 平面 ,
∴ 平面 . ……………6分
（Ⅱ） 平面 .∴ .又 ，于是可建立如图所示的空间直角坐标系 .∵ 是等腰直角三角形，且斜边 ，
∴ .
从而，
设存在满足条件的点 坐标为
由（Ⅰ）知平面 的法向量 = , …6分
令平面 的法向量
，
令 得 .
平面 与平面 的夹角等于
∴ ，的
所以当 为棱 中点时平面 与平面 的夹角等于 . ……………12分
19．解：（I）表中 ……………2分
（II）依照题意得一天的销售量为1.5吨的概率
5天中该种商品恰好有 天的销售量为1.5，则
……………6分
（Ⅲ） 的取值为4,5,6，7,8
； ；
； ；
……………9分
的分布列为
45678
0.040.20.370.30.09
……………12分
20．解：(Ⅰ)设直线 方程为 ，
消去 得 ，所以
=
故 . ……………6分
（Ⅱ）
方程为 整理得
同理得 方程为 ……………9分
联立方程
得 ，
故 的交点在定直线 上. ……………13分
21．解：（Ⅰ）设切点 的横坐标为 , 点的横坐标分别为 ；
因为 ，所以 ；令 方程为
消去 得 ，当 时
，所以 三点的横坐标成等差数列. ……………4分
（Ⅱ）令 ， ，
令 ，得 ，所以 的减区间为 ，增区间为 ， = ，只要 即可，
得 且 ，即 . ……………10分
（Ⅲ） 由（Ⅱ）得 ，即 ，所以
……………14分