初中数学三角形射影定理公式证明

　　【—三角形射影定理】任意三角形射影定理不同于直角三角形的射影定理，他们本质的区别在于直角三角形本身的高就可以容易做出。

　　任意三角形射影定理

　　任意三角形射影定理又称“第一余弦定理”：

　　△ABC的三边是a、b、c，它们所对的角分别是A、B、C，则有

　　a=b·cosC+c·cosB，

　　b=c·cosA+a·cosC，

　　c=a·cosB+b·cosA。

　　注：以“a=b·cosC+c·cosB”为例，b、c在a上的射影分别为b·cosC、c·cosB，故名射影定理。

　　证明

　　证明1：设点A在直线BC上的射影为点D，则AB、AC在直线BC上的射影分别为BD、CD，且

　　BD=c·cosB，CD=b·cosC，∴a=BD+CD=b·cosC+c·cosB. 同理可证其余。

　　证明2：由正弦定理?，可得：b=asinB/sinA，c=asinC/sinA=asin(A+B)/sinA=a(sinAcosB+cosAsinB)/sinA

　　=acosB+(asinB/sinA)cosA=a·cosB+b·cosA. 同理可证其它的。

　　正弦定理和面积法都可以轻松的证明出任意三角形射影定理公式。

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