逍遥学能 2014-10-10 17:08
重难点：会利用导数解决某些实际问题．
考纲要求：①会利用导数解决某些实际问题．
经典例题：某制造商制造并出售球形瓶装的某种饮料.瓶子的制造成本是0.8πr2分(其中r是瓶子的半径,单位是厘米).已知每出售1 mL的饮料,制造商可获利0.2分,且制造商能制作的瓶子的最大半径为6 cm.
(1)瓶子半径多大时,能使每瓶饮料的利润最大?
(2)瓶子半径多大时,每瓶饮料的利润最小?
当堂练习：
1.函数y=x3+x的单调增区间为( )
A.(-∞,+∞) B.(0,+∞)
C.(-∞,0) D.不存在
2.若函数f(x)=x2+bx+c的图象的顶点在第四象限,则函数f′(x)的图象是（ ）
3.上图是函数y=f(x)的导函数y=f′(x)的图象,则下面判断正确的是 （ ）
A.在区间(-2,1)内f(x)是增函数 B.在(1,3)内f(x)是减函数
C.在(4,5)内f(x)是增函数 D.在x=2时f(x)取到极小值
4.下列说法正确的是（ ）
A.函数在闭区间上的极大值一定比极小值大 B.函数在闭区间上的最大值一定是极大值
C.对于f(x)=x3+px2+2x+1,若|p|<,则f(x)无极值 D.函数f(x)在区间(a,b)上一定存在最值
5.若函数f(x)=x3-ax2+1在(0,2)内单调递减，则实数a的取值范围是( )
A.a≥3 B.a=2 C.a≤3 D.0<a<3
6.★若f(x)=ax3+bx2+cx+d(a>0)在R上是增函数,则( )
A.b2-4ac>0 B.b>0,c>0
C.b=0,c>0 D.b2-3ac<0
7.已知函数f(x)=ax3+(2a-1)x2+2,若x=-1是y=f(x)的一个极值点,则a的值为( )
A.2 B.-2 C. D.4
8.在区间(0,+∞)内，函数y=ex-x是( )
A.增函数 B.减函数 C.先增后减 D.先减后增
9.函数y=f(x)=lnx-x在区间(0,e］上的最大值为( )
A.1-e B.-1 C.-e D.0
10.函数y=x5-x3-2x，则下列判断正确的是( )
A.在区间（-1，1）内函数为增函数 B.在区间（-∞,-1)内函数为减函数
C.在区间(-∞,1)内函数为减函数 D.在区间(1,+∞)内函数为增函数
11.函数f(x)=x3-3x2+7的极大值是 .
12.函数y=4x2+的单调增区间为 .
13.函数y=3x2-2lnx的单调减区间为 .
14.函数y=x4-8x2+2在［-1，3］上的最大值为 .
15.已知函数y=ax与y=-在区间（0，+∞)上都是减函数，试确定函数y=ax3+bx2+5的单调区间.
16.当室内的有毒细菌开始增加时,就要使用杀菌剂.刚开始使用的时候,细菌数量还会继续增加,随着时间的增加,它增加幅度逐渐变小,到一定时间,细菌数量开始减少.如果使用杀菌剂t小时后的细菌数量为b(t)=105+104t-103t2.
(1)求细菌在t=5与t=10时的瞬时速度;
(2)细菌在哪段时间增加,在哪段时间减少?为什么?
17.已知a为实数,f(x)=(x2-4)(x-a).
(1)求导数f′(x);(2)若f′(-1)=0,求f(x)在［-2,2］上的最大值和最小值.
18.某产品按质量分为10个档次,生产第一档(即最低档次)的利润是每件8元,每提高一个档次,利润每件增加2元,但在相同的时间内产量减少3件.在相同的时间内,最低档的产品可生产60件.问在相同的时间内,生产第几档次的产品的总利润最大?有多少元?
参考答案：
经典例题： 分析 本题考查导数的应用及利用导数知识解决实际问题的能力.
解 由于瓶子的半径为r,所以每瓶饮料的利润是
y=f(r)=0.2×πr3-0.8πr2=0.8π(-r2),0<r≤6.
令f′(r)=0.8π(r2-2r)=0.
当r=2时,f′(r)=0;
当r∈(0,2)时,f′(r)<0;
当r∈(2,6)时,f′(r)>0.
因此,当半径r>2时,f′(r)>0,它表示f(r)单调递增,即半径越大,利润越高;半径r<2时,f′(r)<0,它表示f(r)单调递减,即半径越大,利润越低.
(1)半径为6 cm时,利润最大.
(2)半径为2 cm时,利润最小,这时f(2)<0,表示此种瓶内饮料的利润还不够瓶子的成本,此时利润是负值.
当堂练习：
1.A; 2.A; 3.C; 4.C; 5.A; 6.D; 7.A; 8.A; 9.B; 10.D; 11. 7; 12. (,+∞); 13. (0,);14. 11;
15. 解 ∵函数y=ax与y=-在区间（0，+∞)上是减函数，
∴a<0,b<0.
由y=ax3+bx2+5,得y′=3ax2+2bx.
令y′>0，即3ax2+2bx>0,∴<x<0.
因此当x∈(,0)时，函数为增函数;
令y′<0,即3ax2+2bx<0,
∴x<或x>0.
因此当x∈(-∞,)时，函数为减函数;
x∈(0,+∞)时，函数也为减函数. ?
16. 分析 本题考查导数的几何意义及利用导数知识解决实际问题的能力.
解 (1)b′(t)=-2 000t+10 000,
b′(t)|t=5=-2 000×5+10 000=0,
b′(t)|t=10=-2 000×10+10 000=-10 000,
即细菌在t=5与t=10时的瞬时速度分别为0和-10 000.
(2)由-2 000t+10 000>0,得t<5,
由-2 000t+10 000<0,得t>5,
即细菌在t∈(0,5)时间段数量增加,在t∈(5,+∞)时间段数量减少.
17. 分析 本题主要考查函数、导数、不等式等基础知识,考查分析推理和知识的综合应用能力.求函数在闭区间的最值,只需比较导数为零的点与区间端点处的函数值的大小即可.
解 (1)由原式得f(x)=x3-ax2-4x+4a,
∴f′(x)=3x2-2ax-4.
(2)由f′(-1)=0,得a=.
此时有f(x)=(x2-4)(x-),
∴f′(x)=3x2-x-4.
由f′(x)=0,得x=或x=-1.
又f()=-,f(-1)=,f(-2)=0,f(2)=0,
∴f(x)在［-2,2］上的最大值为,最小值为.
18. 分析 在一定条件下,“利润最大”“用料最省”“面积最大”“效率最高”“强度最大”等问题,在生产、生活中经常用到,在数学上这类问题往往归结为求函数的最值问题.除了常见的求最值的方法外,还可用求导法求函数的最值.但无论采取何种方法都必须在函数的定义域内进行.
解法一 设相同的时间内,生产第x(x∈N*,1≤x≤10)档次的产品利润y最大.
依题意,得y=［8+2(x-1)］［60-3(x-1)］
=-6x2+108x+378
=-6(x-9)2+864(1≤x≤10),
显然,当x=9时,ymax=864(元),
即在相同的时间内,生产第9档次的产品的总利润最大,最大利润为864元.
解法二 由上面解法得到y=-6x2+108x+378.
求导数,得y′=-12x+108.
令y′=-12x+108=0,
解得x=9.因为x=9∈［1,10］,y只有一个极值点,所以它是最值点,即在相同的时间内,生产第9档次的产品利润最大,最大利润为864元.