逍遥学能 2014-09-21 13:15
向量是近代数学中重要和基本的数学概念之一，有深刻的几何背景，是解决几何问题的有力工具。向量概念引入后，全等和平行（平移）、相似、垂直、勾股定理就可转化为向量的加（减）法、数乘向量、数量积运算，从而把图形的基本性质转化为向量的运算体系。
向量是沟通代数、几何与三角函数的一种工具，有着极其丰富的实际背景。在本章中，学生将了解向量丰富的实际背景，理解平面向量及其运算的意义，能用向量语言和方法表述和解决数学和物理中的一些问题，发展运算能力和解决实际问题的能力。
一、内容与课程学习目标
本章主要包括平面向量的实际背景及基本概念、平面向量的线性运算、平面向量的基本定理及坐标表示、平面向量的数量积、平面向量应用五部分内容。通过本章学习，应引导学生：
1．通过力和力的分析等实例，了解向量的实际背景，理解平面向量和向量相等的含义，理解向量的几何表示。
2．通过实例，掌握向量加、减法的运算，并理解其几何意义。
3．通过实例，掌握向量数乘的运算，并理解其几何意义，以及两个向量共线的含义。
4．了解向量的线性运算性质及其几何意义。
5．了解平面向量的基本定理及其意义。
6．掌握平面向量的正交分解及其坐标表示。
7．会用坐标表示平面向量的加、减与数乘运算。
8．理解用坐标表示的平面向量共线的条件。
9．通过物理中“功”等实例，理解平面向量数量积的含义及其物理意义。
10．体会平面向量的数量积与向量投影的关系。
11．掌握数量积的坐标表达式，会进行平面向量数量积的运算。
12．能运用数量积表示两个向量的夹角，会用数量积判断两个平面向量的垂直关系。
13．经历用向量方法解决某些简单的平面几何问题、力学问题与其他一些实际问题的过程，体会向量是一种处理几何问题、物理问题等的工具，发展运算能力和解决实际问题的能力。
二、本章内容安排
本章共安排了5个小节及2个选学内容，大约需要12个课时，具体分配如下（仅供参考）：
2．1 平面向量的实际背景及基本概念 2课时
2．2 向量的线性运算 2课时
2．3 平面向量的基本定理及坐标表示 2课时
2．4 平面向量的数量积 2课时
2．5 平面向量应用举例 2课时
小 结 2课时
本章知识结构如下：
1．第一节包括向量的物理背景与概念、向量的几何表示、相等向量与共线向量。
教科书首先从位移、力等物理量出发，抽象出既有大小、又有方向的量──向量，并说明向量与数量的区别。然后介绍了向量的几何表示、有向线向量的长度（模）、零向量、单位向量、平行向量、相等向量、共线向量等基本概念。
2．第二节有向量加法运算及其几何意义、向量减法运算及其几何意义、向量数乘运算及其几何意义等内容。
教科书先讲了向量的加法、加法的几何意义、加法运算律；再用相反向量与向量的加法定义向量的减法，把向量的减法与加法统一起来，并给出向量减法的几何意义；然后通过向量的加法引入了实数与向量的积的定义，给出了实数与向量的积的运算律；最后介绍了两个向量共线的条件和向量线性运算的运算法则。
3．第三节包括平面向量基本定理、平面向量的正交分解及坐标表示、平面向量的坐标运算、平面向量共线的坐标表示。
平面向量基本定理是平面向量正交分解及坐标表示的基础。教科书首先通过一个具体的例子给出平面向量基本定理，同时介绍了基底、夹角、两个向量垂直的概念；然后在平面向量基本定理的基础上，给出了平面向量的正交分解及坐标表示，向量加、减、数乘的坐标运算和向量坐标的概念，最后给出平面向量共线的坐标表示。坐标表示使平面中的向量与它的坐标建立起了一一对应的关系，这为通过“数”的运算处理“形”的问题搭起了桥梁。
4．第四节包括平面向量数量积的物理背景及其含义、平面向量数量积的坐标表示、模、夹角。
教科书从学生熟知的功的概念出发，引出了平面向量数量积的概念及其几何意义，接着介绍了向量数量积的性质、运算律及坐标表示。向量数量积把向量的长度和三角函数联系了起来，这样为解决有关的几何问题提供了方便，特别能有效地解决线段的垂直问题。
5．第五节包括平面几何中的向量方法、向量在物理中的应用举例。由于向量来源于物理，并且兼具“数”和“形”的特点，所以它在物理和几何中具有广泛的应用。本节通过几个具体的例子说明了它的应用。
6．为了拓展学生的知识面，使学生了解向量及向量符号的由来，向量的运算（运算律）与几何图形形式的关系，本章安排了两个“阅读与思考”：向量几向量符号的由来，向量的运算（运算律）与图形性质。
三、编写中考虑的几个问题
1．突出向量的物理背景与几何背景
教科书特别注意从丰富的物理背景和几何背景中引入向量概念。在引言中通过日常生活中确定“位置”中的位移概念，说明学习向量知识的意义；在2.1节，通过物理学中的重力、浮力、弹力、速度、加速度等作为实际背景素材，说明它们都是既有大小又有方向的量，由此引出向量的概念；引出向量概念后，教科书又利用有向线段给出了向量的几何背景，并定义了向量的模、单位向量等概念。这样的安排，可以使学生认识到向量在刻画现实问题、物理问题以及数学问题中的作用，使学生建立起理解和运用向量概念的背景支持。
教科书借助几何直观，并通过与数的运算的类比引入向量运算，以加强向量的几何背景。例如，关于向量的减法，在向量代数中，常有两种定义方法，第一种是将向量的减法定义为向量加法的逆运算，即如果a+x=b，则x叫做向量b与a的差。这样，作b－a时，可先在平面内取一点O，再作，则就是b－a。第二种方法是在相反向量的基础上，通过向量的加法定义向量的减法，即已知、，定义。在这种定义下，作时，可先在平面内任取一点O，作，则由向量加法的平行四边形法则知，。由于，即就是。实践表明，中学生理解第一种定义方法存在困难，但能容易地作出；接受第二种定义方法容易，但作较繁。为便于学生接受，教科书先类比相反数给出相反向量，再把定义为，然后借助几何直观得出的作法（向量减法的几何意义）。
2．强调向量作为解决现实问题和数学问题的工具作用。
为了强调向量作为刻画力、速度、位移等现实中常见现象的有力的数学工具作用，本章特别注意联系实际。特别是在概念引入中加强与实际的联系。例如，在引入向量的概念时，联系了位移、物体在液体中的受力分析、弹簧受力分析等；向量的加法运算、平面向量的正交分解、平面向量的数量积等都与相应的物理问题建立联系；向量加法的三角形法则和平行四边形法则与位移的合成、力的合成相联系。
另外，向量也是解决数学问题的好工具，例如，和（差）角的三角函数公式、线段的定比分点公式、平面两点间距离公式、平移公式及正弦定理、余弦定理等都可以用向量为工具进行推导；向量作为沟通代数、几何与三角函数的桥梁，是一个很好的数形结合工具，教科书通过“平面几何中的向量方法”进行了介绍，并在第三章用向量方法来推导两角差的余弦公式。这些处理也都是为了体现向量作为基本的、重要的数学工具的地位。
3．根据数学知识的发展过程与学生的认知过程安排内容。
向量是高中数学课程近年来引进的新内容，为了保证其科学性，同时又易于被学生接受，根据向量知识的发展过程和学生的思维规律，根据“标准”对向量内容的定位，并考虑到学生在数及其运算中建立起来的经验，本章按照如下次序来编排：
向量的实际背景及基本概念→向量的线性运算→平面向量基本定理及坐标表示→向量的数量积→向量应用举例。
具体的考虑是：
（1）借助力、速度、位移等现实中的常见现象，让学生认识引进向量的必要性，并得出向量是既有大小又有方向的量，给出向量的概念。
（2）数学中引进一个新的量，自然要看看它的运算及其运算律的问题。向量运算可以与我们熟悉的数的运算进行类比，从中得到启发，因此在引进向量概念后接着讨论向量的线性运算（加、减及数乘）是很自然的。只是要对向量与数之间不同的地方要非常小心，也即运算中除了考虑大小，还要考虑方向问题。这里，为了便于学生理解，还要借助于物理中力的合成来定义向量的加法。
（3）受到数轴上的点表示数的启发，向量能不能用类似于数轴上的点的形式来表示呢？根据这个想法，以向量的加法运算为基础，得出平面向量基本定理，就可以引进向量的坐标表示。
（4）从运算的角度看，自然要研究两个向量是否可以相乘，如果可以，那么结果怎样？还是从向量的物理背景中得到启发，可以定义两个向量的数量积运算，并讨论运算律问题。
至于向量是否可以作其他运算，以及如何定义，可以作为悬念留待今后解决。
（5）学习的目的在于应用，应用的过程中可以加深理解相关知识，因此安排了“向量的简单应用”。
本章内容的这种想法，如果能够让学生在学习过程中明确起来，那么对他们掌握本章内容会有很大帮助。
这里需要说明的是，向量的坐标表示的引入，由于目的不同而有不同的处理方式。高等数学教材中，往往采取先介绍向量的概念及各种运算，并直接用向量解决有关几何问题，然后再引进坐标，并用向量和坐标方法讨论空间直线、平面、二次曲面及一般的曲面，其目的是突出向量的工具性。本章为了尽早让学生知道处理几何问题的另两种方法——向量法和坐标法，突出数形结合的思想，在平面向量基本定理、平面向量的正交分解后就引进向量的坐标，并把向量的线性运算及向量的共线等用坐标表示。
4．强调向量法的基本思想，明确向量运算及运算律的核心地位。
向量具有明确的几何背景，向量的运算及运算律具有明显的几何意义，因此涉及长度、夹角的几何问题可以通过向量及其运算得到解决。另外，向量及其运算（运算律）与几何图形的性质紧密相联，向量的运算（包括运算律）可以用图形直观表示，图形的一些性质也可以用向量的运算（运算律）来表示。例如，平行四边形是表示向量加法和减法的几何模型，而向量的加法及其交换律（a+b=b+a）又可以表示平行四边形的性质（在平行四边形AB∥CD中，AD∥BC，AB∥CD，△ABD ）。这样，建立了向量运算（包括运算律）与几何图形之间的关系后，可以使图形的研究推进到有效能算的水平，向量运算（运算律）把向量与几何、代数有机地联系在一起。
几何中的向量方法与解析几何的思想具有一致性，不同的只是用“向量和向量运算”来代替解析几何中的“数和数的运算”。这就是把点、线、面等几何要素直接归结为向量，对这些向量借助于它们之间的运算进行讨论，然后把这些计算结果翻译成关于点、线、面的相应结果。如果把解析几何的方法简单地表述为
[形到数]——[数的运算]——[数到形]，
则向量方法可简单地表述为
[形到向量]——[向量的运算]——[向量和数到形]。
教科书特别强调了向量法的上述基本思想，并根据上述基本思想明确提出了用向量法解决几何问题的“三步曲”。为了使学生体会向量运算及运算律的重要性，教科书注意引导学生在解决具体问题时及时进行归纳，同时还明确使用了“因为有了运算，向量的力量无限；如果没有运算，向量只是示意方向的路标”的提示语。
5．通过与数及其运算的类比，向量法与坐标法的类比，建立相关知识的联系，突出思想性。
向量及其运算与数及其运算既有区别又有联系，在研究的思想方法上可以进行类比。这种类比可以打开学生讨论向量问题的思路，同时还能使向量的学习找到合适的思维固着点。为此，教科书在向量概念的引入，向量的线性运算，向量的数量积运算等内容的展开上，都注意与数及其运算（加、减、乘）进行类比。
例如，向量概念的引入用了这样一段话：
我们可以从一支笔、一棵树、一本书……抽象出只有大小的数量“1”。类似地，我们可以对力、位移……这些既有大小又有方向的量进行抽象，形成一种新的量。
又如，在学习向量的运算及运算律时，也是从数谈起的：“数能进行运算，因为有了运算而使数的威力无穷。与数的运算类比，向量是否也能进行运算呢？”“数的加法启发我们，从运算的角度看，位移的合成、力的合成可看作向量的加法。”“数的运算和运算律紧密联系，运算律可以有效地简化运算。类似的，向量的加法是否也有运算律呢？”“我们知道，减去一个数等于加上这个数的相反数。向量的减法是否也有类似的法则？”……
再如，在向量的坐标表示中，先提出问题：“在平面直角坐标系中，每一个点都可用一对有序实数（即它的坐标）表示。对于直角坐标平面内的每一个向量，如何表示呢？”然后再利用平面向量基本定理得出向量的坐标表示，并把向量（有向线段）的坐标与点的坐标对应起来，实现向量的运算到数的运算的转化。
6．用恰时恰点的问题引导学生的数学思维。
本章充分利用“观察”“思考”“探究”等栏目设置了大量问题，教科书通过这些问题来启发学生独立思考，加强数学知识的形成过程，提高学生的数学思维水平。例如，引进向量加法运算时，通过“探究”栏目，创设从力的合成到向量加法的问题情景；讨论向量加法的运算律时，提出“数的加法满足交换律与结合律，向量的加法是否也满足交换律与结合律？请画图进行探索。”在讨论向量数乘运算时，先提出“已知非零向量a，作出a+a+a和（－a）＋（－a）＋（－a）。你能说明它们的几何意义吗？”平面向量基本定理的引入，先让学生思考“给定平面内任意两个向量，请作出向量3e1+2e2，e1－2e2。平面内任一向量是否都可以用形如λ1e1+λ2e2的向量表示呢？”引导学生从具体到抽象，概括出平面向量基本定理。
四、对本章教学的几个建议
1．引导学生用数学模型的观点看待向量内容
在向量概念的教学中，要利用学生的生活经验、其他学科的相关知识，创设丰富的情景，例如物理中的力、速度、加速度，力的合成与分解，物体受力做功等，通过这些实例是学生了解向量的物理背景、几何背景，引导学生认识向量作为描述现实问题的数学模型的作用。同时还要通过解决一些实际问题或几何问题，使学生学会用向量这一数学模型处理问题的基本方法。
2．加强向量与相关知识的联系性，使学生明确研究向量的基本思路
向量既是代数的对象，又是几何的对象。作为代数对象，向量可以运算，而且正是因为有了运算，向量的威力才得到充分的发挥；作为几何对象，向量可以刻画几何元素（点、线、面），利用向量的方向可以与三角函数发生联系，通过向量运算还可以描述几何元素之间的关系（例如直线的垂直、平行等），另外，利用向量的长度可以刻画长度、面积、体积等几何度量问题。教学中，教师应当充分关注到向量的这些特点，引导学生在代数、几何和三角函数的联系中学习本章知识。
值得特别注意的是，在本章的教学之初，应引导学生通过与数及其运算的类比，体会研究向量的基本思路，在学完本章内容后，还要引导学生反思，重新概括研究思路，这样可以使学生体会数学中研究问题的思想方法，提升学生的数学思维水平。
3．引导学生认真体会向量法的思想实质
向量集数与形于一身，既有代数的抽象性又有几何的直观性，用它研究问题时可以实现形象思维与抽象思维的有机结合，因而向量方法是几何研究的一个有效的强有力工具。教学中应当通过实例，引导学生认真体会通过建立向量及其运算（运算律）与几何图形之间的关系，利用向量的代数运算研究几何问题的基本思想，掌握向量法的“三步曲”：
（1）建立平面几何与向量的联系，用向量表示问题中涉及的几何元素，将平面几何问题转化为向量问题；
（2）通过向量运算，研究几何元素之间的关系，如距离、夹角等问题；
（3）把运算结果“翻译”成几何关系。
其中，由于向量的数量积集距离和角这两个刻画几何元素（点、线、面）之间度量关系的基本量于一身，因而它在解决几何问题中的作用更大，应当通过适当的问题引起学生的注意。
4．注意与数及其运算、解析几何的思想方法的类比
前已指出，向量及其运算与数及其运算可以类比，这种类比使学生体会向量研究中的问题与方法，使向量的学习有一个好的思维固着点。这样的类比是教学中提高思想性的有效手段，因此教学中应当予以充分的关注。另外，从思想实质来说，向量法与解析法是完全一致的，教学中可以引导学生回顾数学2中归纳的解析法的“三步曲”，然后让学生自己概括出向量法的“三步曲”。
顺便指出，作为向量数量化依据的平面向量基本定理，教科书是通过具体的例子来说明同一平面内任一向量都可表示为两个不共线向量的线性组合，这种表示是学生所不熟悉的。教学中应当充分用好具体例子，使学生形成对基本定理的直观理解，但不要加以证明。在进入平面向量的坐标表示以及平面向量的坐标运算后，可以引导学生通过例题，在解决线段的定比分点、平移、平面上两点之间的距离等问题的过程中，使学生看到结果与在数学2中得到的一样，从而进一步体会平面向量基本定理的内涵。