逍遥学能 2014-09-07 15:39
一. 本周教学内容：向量的概念及表示、向量的线性运算
二. 本周教学目标
1、了解向量的实际背景，会用字母表示向量，理解向量的几何表示。
2、理解零向量、单位向量、平行向量、相等向量、相反向量等概念，并会辨认图形中的相等向量或判断出与某一已知向量相等的向量。
3、理解向量加法的定义，会用向量加法的三角形法则和向量的平行四边形法则作两个向量的和向量；理解向量加法的交换律和结合律，并会用它们进行向量计算。
4、了解向量的减法，会作两个向量的减向量。
5、理解向量数乘的含义及向量数乘的运算律；理解两个向量共线的含义，并能运用它们证明简单的几何问题。
三. 本周要点
（一）向量的概念及表示
1、向量的概念：我们把既有大小又有方向的量叫向量。
2、向量的表示：①用有向线段表示；②用字母③用有向线段的起点与终点字母表示：< style='width:20.25pt; > ；
④向量 。
3、零向量、单位向量概念：
①长度为0的向量叫零向量，记作 ②长度为1个单位长度的向量，叫单位向量。零向量、单位向量的定义都是只限制大小，不确定方向。
4、平行向量定义：
①方向相同或相反的非零向量叫平行向量；
②我们规定 、 、 ∥ ∥
5、相等向量定义：
长度相等且方向相同的向量叫相等向量。
（1）向量 ＝ ；
（2）零向量与零向量相等；
（3）任意两个相等的非零向量，都可用同一条有向线段来表示，并且与有向线段的起点无关。
6、共线向量与平行向量关系：
平行向量就是共线向量，这是因为任一组平行向量都可移到同一直线上。
（1）平行向量可以在同一直线上，要区别于两平行线的位置关系；
（2）共线向量可以相互平行，要区别于在同一直线上的线段的位置关系。
7、相反向量
把与向量 的相反向量，记作－规定： ）＝几何中向量加法是用几何作图来定义的，一般有两种方法，即向量加法的三角形法则（“首尾相接，首尾连”）和平行四边形法则（对于两个向量共线不适应）。
2、作两向量的加法：如图，已知向量 、 ，则向量 与 的和，记作
特殊情况：
，有 探究：（1）两向量的和仍是一个向量；
（2）当向量 ＋ 的方向不同向，且 ＋ ；
（3）当 ＋ 、 ＋ ＝ 与 反向时，若 ＋ 的方向与 ＋ ＝ < ，则 ＋ ＝ － ＋ ＝ ＋ ＋ ) ＋ ＋ ( ＋x ＝ x叫做 -
2、求作差向量：已知向量 - ) ＋ ＝ ＋
减法的三角形法则作法：在平面内取一点 ， ＝ ， 则 ＝ - <9" > 可以表示为从向量 的终点指向向量 表示
（四）向量的数乘
1、实数与向量的积：实数λ与向量
（1）λ ；（2）λ>0时λ 方向相同；λ<0时λ 方向相反；λ＝0时λ
2、运算定律 结合律：λ(μ
分配律：(λ＋μ) ＋μ ＋ )＝λ3、向量共线定理
如果有一个实数λ，使 ＝λ ≠0)，那么 与与 ≠0) 是共线向量，那么有且只有一个实数λ，使得 ＝λ4、平面向量基本定理：如果 ， 是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任一向量 ＝λ1 ＋λ2
说明：(1)我们把不共线向量 、 叫做表示这一平面内所有向量的一组基底；
(2)基底不惟一，关键是不共线；
(3)由定理可将任一向量(4)基底给定时，分解形式惟一。λ1，λ2是被①向量 是共线向量，则A、B、C、D四点必在一直线上；?ぜ/p>
②单位向量都相等；?ぜ/p>
③任一向量与它的相反向量不相等；?ぜ/p>
④共线的向量，若起点不同，则终点一定不同。
解：①不正确.共线向量即平行向量，只要求方向相同或相反即可，并不要求两个向量 在同一直线上.
②不正确。单位向量模均相等且为1，但方向并不确定。
③不正确。零向量的相反向量仍是零向量，但零向量与零向量是相等的。
④不正确。如图 共线，虽起点不同，但其终点却相同。
评述：本题考查基本概念，对于零向量、单位向量、平行向量、共线向量的概念特征及相互关系必须把握好。
例2. 如图，一艘船从A点出发以 的速度向垂直于对岸的方向行驶，同时河水的流速为
解：设 表示水流的速度，以AD，AB为邻边作平行四边形ABCD，则 中， ，
所以
因为 ， 表示向量 。
＝ ， -
变式一：当 ＋ 与 ＝ ）
变式二：当 ＋ ＝ ， 互相垂直）
变式三： - 可能是相当向量吗？（不可能，∵平行四边形对角线方向不同）
例4. 如图平行四边形ABCD的两条对角线交于点M，且 ， ， 表示 ， 。
＝ ＝ ＝ ＝ ＝- ＋ )＝- ＝ - )＝ ＝ ＋
＝- ＋
例5. 设 ＝2 ＋3 ， － ， 若三点A， B， D共线，求k的值。
＝ － )－( －4
∵A， B， D共线 ∴ ， 共线 ∴存在λ使 ＝λ
即2 －4 ) ∴ ∴k＝－8
【模拟】
1. 下列各量中不是向量的是（ ）?ぜ/p>
A. 浮力 B. 风速 C. 位移 D. 密度?ぜ/p>
2. 下列说法中错误的是（ ）
A. 零向量是没有方向的?? B. 零向量的长度为0?ぜ/p>
C. 零向量与任一向量平行?? D. 零向量的方向是任意的?ぜ/p>
3. 把平面上一切单位向量的始点放在同一点，那么这些向量的终点所构成的图形是（ ）
A. 一条线段??B. 一段圆弧?っ. 圆上一群孤立点?? D. 一个单位圆?ぜ/p>
4. 下列等式:① ＝ ＝ )＝ ＋(－ ＋(－ )＝A. 2 B. 3 C. 4?? D. 5
5. 下列等式中一定能成立的是( )?ぜ/p>
A. ＝ －
C. ＋ －6. 化简 ＋ ＋A. C. ＝2 ＋ ， ＝3 －2λ ，若 、 是两非零向量，且 与 与 必定 。
9. 已知 ＝ ＝ ，若 ＝12， － ＝ 。
10. 在正六边形ABCDEF中， ＝ 、 是非零向量，则 ＋ 时，应满足条件 。
12. 在平行四边形ABCD中，设对角线 ， ＝ ，试用 ，13. 如图， ， ＝t 表示
【试题答案】
1. C 2. D 3. B 4. D 5. A 6. D ?シ. － 8. 不共线
9. 13?ケ0. － 与 反向?ゼ/p>
12. 解： ＝ ＝ ＝
∴ ＝ ＝ ＝ ＋ ＋ ＋
13. 解：∵
∴ ＝ ＋ t＝ ＋ t( -t ＝(1-t) ＋ t