逍遥学能 2014-08-23 14:06
一、选择题
1.(2009重庆文)圆和圆( ).
A.相离 B.相交 C.外切 D.内切
考查目的：考查圆与圆的位置关系的判定.
答案：B.
解析：化圆、方程为标准方程知，它们的圆心分别为(1，0)，半径为1；圆(0，2)，半径为1，∴，，，∴，∴圆、圆相交.
2.(2012湖北)过点P(1，1)的直线，将圆形区域分两部分，使这两部分的面积之差最大，则该直线的方程为( ).
A. B. C. D.
考查目的：考查圆的有关性质，以及直线与圆位置关系的综合运用.
答案：A.
解析：要使点P(1，1)的直线将圆形区域分成两部分的面积之差最大，必须使过点P的圆的弦长达到最小，此时该直线与直线OP垂直. ∵，∴所求直线的斜率为.又∵所求直线经过点P(1，1)，∴所求直线的方程为，即.
3.(2011江西理)直线与圆C：相交于M，N两点.若，则的取值范围是( ).
A. B. C. D.
考查目的：考查直线与圆的位置关系、点到直线距离公式的运用.
答案：A.
解析：圆C的圆心坐标为C(3，2)，半径为2，且圆C与轴相切.当时，过圆心C作CK⊥MN，垂足为K，则，，∴，即点C(3，2)到直线的距离公式为1，∴，解得，，结合图示可知，的取值范围是.
二、填空题
4.(2012安徽)若直线与圆有公共点，则实数取值范围是 .
考查目的：考查直线与圆的位置关系及其应用.
答案：.
解析：圆的圆心C(，0)到直线的距离为，则 ，∴，∴，解得.
5.(2012江西)过直线上点P作圆的两条切线，若两条切线的夹角是，则点P的坐标是__________.
考查目的：考查直线与圆的位置关系的综合运用.
答案：.
解析：如图，由题意知.由切线性质可知.在直角三角形中，，又∵点P在直线上，∴不妨设点P的坐标为，则，即，整理得，即，∴，即点P的坐标为.
6.(2012江苏)在平面直角坐标系中，圆的方程为，若直线上至少存在一点，使得以该点为圆心，1为半径的圆与圆有公共点，则的最大值是 .
考查目的：考查圆与圆的位置关系，点到直线的距离公式.
答案：.
解析：∵圆C的方程可化为，∴圆C的圆心为(4，0)，半径为1.由题意知，直线上至少存在一点A，以该点为圆心、1为半径的圆与圆C有公共点，∴存在，使得成立，即.∵即为点到直线的距离，∴，解得，∴的最大值是.
三、解答题
7.已知圆C：，是否存在斜率为1的直线，使直线被圆C截得的弦AB为直径的圆过原点，若存在，求出直线的方程；若不存在，说明理由.
考查目的：考查直线和圆的位置关系及其综合应用.
答案：或.
解析：化圆C方程为标准方程，其圆心C的坐标为(1，-2).假设存在以AB为直径的圆M，圆心M的坐标为(，).∵CM⊥，∴，∵，∴，整理得，∴①.
又∵直线的方程为，即，∴.
∵以AB为直径的圆M过原点，∴.∵，，∴②.把①代入②得，∴或.
当时，，此时直线的方程为；
当时，，此时直线的方程为.
故存在这样的直线，其方程为或.
8.(2009江苏)在平面直角坐标系中，已知圆和圆
.
⑴若直线过点A(4，0)，且被圆截得的弦长为，求直线的方程；
⑵设P为平面上的点，满足：存在过点P的无穷多对互相垂直的直线和，它们分别与圆和圆相交，且直线被圆截得的弦长与直线被圆截得的弦长相等，试求所有满足条件的点P的坐标.
考查目的：考查直线与圆的方程、点到直线的距离公式，以及综合分析问题的能力.
答案：⑴或；⑵(，)或(，).
解析：⑴由题设易得直线的斜率存在.设直线的方程为，即.由垂径定理得，圆心到直线的距离，结合点到直线的距离公式得，化简得，解得或，∴直线的方程为或，即或.
⑵设点P坐标为，直线，的方程分别为，，即，.∵直线被圆截得的弦长与直线被圆截得的弦长相等，∴两圆半径相等.由垂径定理得，圆心到直线的距离与圆心直线的距离相等，∴
，化简得，或.关于的方程有无穷多个解，∴，或，解得点P的坐标为(，)或(，).