逍遥学能 2014-08-20 14:32
函数的极值
求函数的极值点应先求导，然后令y′=0得出全部导数为0的点，(导数为0的点不一定都是极值点，例如 y=x3,当x=0时，导数是0，但非极值点)，导数为0的点是否是极值点，取决于这个点左、右两边的增减性，即两边的y′的符号，若改变符号，则该点为极值点；若不改变符号，则非极值点，一个函数的极值点不一定在导数为0的点处取得，但可得函数的极值点一定导数为0
例 已知f(x)=ax3+bx2+c x(a≠0)在x=±1时取得极值，且f(1)=－1
(1)试求常数a、b、c的值；
(2)试判断x=±1是函数的极小值点还是极大值点，并说明理由
命题意图 利用一阶导数求函数的极大值和极小值的方法是导数在研究函数性质方面的继续深入 是导数应用的关键知识点，通过对函数极值的判定，可使学生加深对函数单调性与其导数关系的理解
知识依托 解题的成功要靠正确思路的选择 本题从逆向思维的角度出发，根据题设结构进行逆向联想，合理地实现了问题的转化，使抽象的问题具体化 这是解答本题的闪光点
错解分析 本题难点是在求导之后，不会应用f′(±1)=0的隐含条件，因而造成了解决问题的最大思维障碍
技巧与方法 考查函数f(x)是实数域上的可导函数，可先求导确定可能的极值，再通过极值点与导数的关系，建立由极值点x=±1所确定的相等关系式，运用待定系数法求值
解 (1)f′(x)=3ax2+2bx+c
∵x=±1是函数f(x)的极值点，
∴x=±1是方程f′(x)=0,即3ax2+2bx+c=0的两根