逍遥学能 2014-08-14 22:39
一、选择题
1.某种细胞在正常培养过程中，时刻(单位：分)与细胞数(单位：个)的部分数据如下：
0
20
60
140
1
2
8
128
根据表中数据，推测繁殖到1000个细胞时的时刻最接近于( )
A.200 B.220 C.240 D.260
考查目的：考查观察分析能力、函数建模能力和运用指数函数的性质解决实际问题的能力.
答案：A.
解析：由表中数据可以看出，与的函数关系式为.令，则，而，∴繁殖到1000个细胞时，时刻最接近200分，故答案应选A.
2.(2011北京)据统计，一名工人组装第件某产品所用的时间(单位：分钟)为
(为常数).已知工人组装第4件产品用时30分钟，组装第A件产品时用时15分钟，那么的值分别是( ).
A.75，25 B.75，16 C.60，25 D.60，16
考查目的：考查读题审题能力和分段函数模型的应用能力.
答案：D.
解析：由条件可知，时所用时间为常数，所以组装第4件产品用时必然满足第一个分段函数，即，∴，，∴，故答案应选D.
3.如果在今后若干年内，我国国民经济生产总值都控制在平均每年增长8%的水平，那么要达到国民经济生产总值比2009年翻两番的年份大约是( ).(，，，)
A.2018年 B.2025年 C.2027年 D.2028年
考查目的：考查增长率问题和指数、对数的相互转化及其运算.
答案：C.
解析：设2009年总值为，经过年翻两番，则，∴，∴，故答案应选C.
二、填空题
4.某商品零售价2012年比2011年上涨了25%，欲控制该商品零售价2013年比2011年只上涨10%，则2013年应比2012年降价________%.
考查目的：考查读题审题能力、增长率问题解决能力和函数思想.
答案：12.
解析：设该商品零售价2011年为元，2013年应比2012年降价，则2012年零售价为
元，而2013年零售价为元，∴，解得.
5.某市居民自来水收费标准如下：每户每月用水不超过4吨时，每吨为1.80元.当用水超过4吨时，超过的部分按每吨3.00元计算.若甲、乙两户某月共交水费元，且甲乙两户某月用水量分别为吨、吨，则关于的函数关系式为 .
考查目的：考查分段函数模型应用能力和分类讨论思想.
答案：.
解析：由题意知，当甲乙两户用水量都不超过4吨时，即当时，；当甲户用水量超过4吨，乙户用水量不超过4吨时，即当时，
；当甲乙两户用水量都超过4吨时，即当时，
.
6.A市和B市分别有某种库存机器12台和6台，现决定支援C村10台，D村8台.已知从A市调运一台机器到C村和D村的运费分别是400元和800元；从B市调运一台机器到C村和D村的运费分别是300元和500元.设B市运往C村机器台，若要求运费W不超过9000元，则共有 种调运方案.
考查目的：考查函数建模与实际应用能力.
答案：3.
解析：由于B市运往C村机器台，则B市运往D村机器台，A市运往C村机器台，则A市运往D村机器台，∴，由得.∵是自然数，∴可取0，1，2，∴共有3种调运方案.
三、解答题
7.(2012上海春)某环线地铁按内、外环线同时运行，内、外环线的长均为30千米(忽略内、外环线长度差异).
⑴当9列列车同时在内环线上运行时，要使内环线乘客最长候车时间为10分钟，求内环线列车的最小平均速度；
⑵新调整的方案要求内环线列车平均速度为25千米/小时，外环线列车平均速度为30千米/小时.现内、外环线共有18列列车全部投入运行，要使内、外环线乘客的最长候车时间之差不超过1分钟，问:内、外环线应各投入几列列车运行?
考查目的：考查读题审题能力、函数建模能力，以及函数与不等式的综合应用能力.
答案：⑴20；⑵10.
解析: ⑴设内环线列车运行的平均速度为千米/小时，由题意得，解得，∴要使内环线乘客最长候车时间为10分钟，列车的最小平均速度是20千米/小时.
⑵设内环线投入列列车运行，则外环线投入列列车运行，内、外环线乘客最长候车时间分别为分钟，则，故，可化为，解得，∴.又∵，∴，∴当内环线投入列，外环线投入8列列车运行，内、外环线乘客最长候车时间之差不超过1分钟.
8.(2011湖南)如图，长方形物体E在雨中沿面P(面积为S)的垂直方向作匀速移动，速度为，雨速沿E移动方向的分速度为.E移动时单位时间内的淋雨量包括两部分：①P或P的平行面(只有一个面淋雨)的淋雨量，假设其值与成正比，比例系数为；②其它面的淋雨量之和，其值为，记为E移动过程中的总淋雨量，当移动距离，面积时.
⑴写出的表达式；
⑵设，，试根据的不同取值范围，确定移动速度，使总淋雨量最少.
考查目的：考查读题审题能力、函数建模能力和函数性质的综合应用，以及分类讨论思想.
答案：⑴；⑵当时，是关于的减函数，故当时，.当时，在上，是关于的减函数；在上，是关于的增函数；故当时，.
解析：⑴由题意知，E移动时单位时间内的淋雨量为，故
.
⑵由⑴知，当时，当时，
，故.
当时，是关于的减函数，故当时，.当时，在上，是关于的减函数；在上，是关于的增函数；故当时，.