逍遥学能 2014-07-31 13:39
重难点：掌握常见幂函数的概念、图象和性质，能利用幂函数的单调性比较两个幂值的大小．
考纲要求：①了解幂函数的概念；
②结合函数的图像，了解他们的变化情况．
经典例题：比较下列各组数的大小：
（1）1.5，1.7，1； （2）（－），（－），1.1；
（3）3.8，3.9，（－1.8）； （4）31.4，51.5.
当堂练习：
1．函数y＝（x2－2x）的定义域是（ ）
A．x B．（－∞，0）（2，＋∞） C．（－∞，0）［2，＋∞ ） D．（0，2）
3．函数y＝的单调递减区间为（ ）
A．（－∞，1） B．（－∞，0） C．［0，＋∞ ］ D．（－∞，＋∞）
3．如图，曲线c1, c2分别是函数y＝xm和y＝xn在第一象限的图象，
那么一定有（ ）
A．n<m<0 B．m<n<0
C．m>n>0 D．n>m>0
4．下列命题中正确的是（ ）
A．当时，函数的图象是一条直线 B．幂函数的图象都经过（0，0），（1，1）两点
C．幂函数的 图象不可能在第四象限内 D．若幂函数为奇函数，则在定义域内是增函数
5．下列命题正确的是（ ）
幂函数中不存在既不是奇函数又不是偶函数的函数
图象不经过（—1，1）为点的幂函数一定不是偶函数
如果两个幂函数的图象具有三个公共点，那么这两个幂函数相同
如果一个幂函数有反函数，那么一定是奇函数
6．用“<”或”>”连结下列各式： ， ．
7．函数y＝在第二象限内单调递增，则m的最大负整数是_______ _．
8．幂函数的图象过点(2,), 则它的单调递增区间是 ．
9．设x∈(0, 1)，幂函数y＝的图象在y＝x的上方，则a的取值范围是 ．
10．函数y＝在区间上 是减函数．
11．试比较的大小．
12．讨论函数y＝x的定义域、值域、奇偶性、单调性。
13．一个幂函数y＝f (x)的图象过点(3, ),另一个幂函数y＝g(x)的图象过点(－8, －2),
(1)求这两个幂函数的解析式； （2）判断这两个函数的奇偶性； （3）作出这两个函数的图象，观察得f (x)< g(x)的解集.
14．已知函数y＝．
（1）求函数的定义域、值域； （2）判断函数的奇偶性； （3）求函数的单调区间．
参考答案：
经典例题：解：（1）∵所给的三个数之中1.5和1.7的指数相同，且1的任何次幂都是1，因此，比较幂1.5、1.7、1的大小就是比较1.5、1.7、1的大小，也就是比较函数y=x中，当自变量分别取1.5、1.7和1时对应函数值的大小关系，因为自变量的值的大小关系容易确定，只需确定函数y=x的单调性即可，又函数y=x在（0，+∞）上单调递增，且1.7＞1.5＞1，所以1.7＞1.5＞1．
（2）（－）=（），（－）=（），1.1=［（1.1）2］=1.21．
∵幂函数y=x在（0，+∞）上单调递减，且＜＜1.21，
∴（）＞（）＞1.21，即（－）＞（－）＞1.1．
（3）利用幂函数和指数函数的单调性可以发现0＜3.8＜1，3.9＞1，（－1.8）＜0，从而可以比较出它们的大小．
（4）它们的底和指数也都不同，而且都大于1，我们插入一个中间数31.5，利用幂函数和指数函数的单调性可以发现31.4＜31.5＜51.5．
当堂练习：
1.B ; 2. B ; 3. B ;4. C ;5. B ; 6. ，;7. ;8. (－∞, 0);
9. (－∞, 1);10. （0，＋∞）;
11．因，，所以
12． 函数y＝x的定义域是R；值域是(0, ＋∞)；奇偶性是偶函数； 在(－∞, 0)上递减；在[0, ＋∞ )上递增．
13．（1）设f (x)＝xa, 将x＝3, y＝代入，得a＝, ；
设g(x)＝xb, 将x＝－8, y＝－2代入，得b＝,；
（2）f (x)既不是奇函数，也不是偶函数；g(x)是奇函数；（3） (0,1)．
14．这是复合函数问题，利用换元法令t＝15－2x－x2，则y＝，
（1）由15－2x－x2≥0得函数的定义域为［－5，3］，
∴t＝16－（x－1）2［0，16］．∴函数的值域为［0，2］．
（2）∵函数的定义域为［－5，3］且关于原点不对称，∴函数既不是奇函数也不是偶函数．
（3）∵函数的定义域为［－5，3］，对称轴为x＝1，
∴x［－5，1］时，t随x的增大而增大；x（1，3）时，t随x的增大而减小．
又∵函数y＝在t［0，16］时，y随t的增大而增大，
∴函数y＝的单调增区间为［－5，1］，单调减区间为（1，3）．