逍遥学能 2014-07-31 13:38
苏珊很为难.她步行去学校，路上老是遇到斯廷基.斯廷基："嘿嘿，苏珊，我可以陪你一起走吗?"苏珊："不!请走开."
苏珊心想：我有办法了.每天早上我走不同的路线去学校.这样斯廷基就不知道在哪儿找到我了.这张地图表示苏珊的住所和学校之间的所有街道.苏珊去学校时，走路的方向总是朝南或朝东.她总共有多少条路线呢?
苏珊："我真想知道有多少条路线可走.让我想一想.要算出多少条路线看来并不简单.嗯.啊哈!一点不难，简单的很!"苏珊想到了什么好主意?
她的推理如下：苏珊："在我家这个角点上写一个1，因为我只能从这一点出发.然后在遇刺相隔一个街区的两个角点上各写一个1，因为到那里只有一条途径.现在，我在这个角点上写上2，因为到达那里可以有两条途径.苏珊发现2是1加1之和，她忽然领悟：若到某一个仅有一条途径，则该角点上的数字为前一个角点上的数字;若有两条途径，则为前两个角点上的数字之和.
苏珊："瞧，又有四个角点标上了数字，我马上把其他角点也标上数字."请你替苏珊把剩下的角点标上数字，并且告诉她步行到学校共有多少条不同的路线.
苏珊的家H
1
1
1
2
1
3
2
5
学校G
剩下的5个点，自上而下，从左至右分别标以1，4，9，4，13.最后一点上的13表示苏珊去学校共有十三条最短路径.
苏珊所发现的是一种快速而简单的算法，用来计算从她家到学校的最短路径共有多少条.要是她把这些路径一条一条地画出来，然后再计数，这样肯定麻烦，还容易出错.如果街道的数目很多，那么这种方法根本就行不通.你不妨把这十三条路线都画出来，这样你就更能体会到苏珊的算法是多么地有效了.
你对这种算法是否已经理解，可以再画一些不同的街道网络，然后用这种算法来确定从任意点A到另一任意点B的最短路线共有多少条.网络可以是矩形网格，三角形网格，平行四边形网格和蜂窝状的正六边形网格.也可以用其他方法(例如组合公式)求解，但这种方法十分复杂，需要很高的技巧.
在国际象棋棋盘上，"车"从棋盘的一角到对角线上另一角的最短路径共有多少条?就像苏珊给街道交点标上数字一样，把棋盘上所有格子也都填上数字，于是问题就迎刃而解了."车"只能沿着右上方向朝另一个角的目标移动，便可以求出共有多少条最短路径.如图所示：
1
8
36
120
330
792
1716
3432
1
7
28
84
210
462
924
1716
1
6
21
56
126
252
462
792
1
5
15
35
70
126
210
330
1
4
10
20
35
56
84
120
1
3
6
10
15
21
28
36
1
2
3
4
5
6
7
8
车
1
1
1
1
1
1
1
把整个棋盘正确标号，根据所标的数字，一眼就能看出在棋盘上从一个角出发到任意一角，有多少条最短路线.右上角的数字是3432，所以"车"从一角到对角线的另一角的最短路径共有3432条.
让我们把棋盘沿着左上至右下的对角线一截为二，使其成为如下图所示的阵列.此三角形上的数字与著名的怕斯卡三角形(我国叫做杨辉三角形)的数字是相同的，当然，计算街道路径条数的算法，恰恰就是构造怕斯卡三角形所依据的过程.这种同构现象使得怕斯卡三角形成为无数有趣特性的不竭的源泉.
1
11
121
1331
14641
...........
利用怕斯卡三角形立即可以求出二项式展开的系数，即求(a+b)的任意次幂，同样也可以用来解出初等概率论中的许多问题.请注意，上图中自顶部至底部，从边沿一格来说是1，随着向中间移动，数字逐渐增加.也许你见过根据怕斯卡三角形所制成的一种装置：在一快倾斜的板上，成百个小球滚过木钉进入各格的底部.全部小球呈现出一条钟形的二项式分布曲线，因为到达每个底部孔位的最短路径的条数就是二项式展开的系数.
显然，苏珊的算法同样适用于由矩阵格子组成的三维结构.设有一个边长为3的立方体，分成27个立方体单元，把它看成棋盘，处于某一个角格上的"车"可以向三个坐标上的任何位置作直线移动，试问"车"到空间对角线的另一个角格有多少条最短路径?