逍遥学能 2014-07-23 14:42
一、选择题（本小题共12小题，每小题5分，共60分）
1．正方体ABCD―A1B1C1D1中，P、Q、R分别是AB、AD、B1C1的中点。那么，正方体的过P、Q、R的截面图形是 （ ）
A．三角形 B．四边形 C．五边形 D．六边形
2．正方体ABCD―A1B1C1D1中，以顶点A、C、B1、D1为顶点的正四面体的全面积为，
则正方体的棱长为（ ）
A． B．2 C．4 D．
3．表面积为 的正八面体的各个顶点都在同一个球面上，则此球的体积为
A． B． C． D．
4．正六棱柱ABCDEF－A1B1C1D1E1F1底面边长是1，侧棱长是，则这个棱柱的侧面对角
线E1D与BC1所成的角是（ ）
A．90? B．60? C．45? D．30?
5．设三棱柱ABC-A1B1C1的体积为V，P、Q分别是侧棱AA1、CC1上的点，且PA=QC1，则四棱锥B-APQC的体积为
（A） （B） （C） （D）
6．设四个点P、A、B、C在同一球面上，且PA、PB、PC两两垂直，PA＝3，PB＝4，PC＝5，
那么这个球的表面积是（ ）
A． B． C．25 D．50
7．已知△ABC中，AB＝2，BC＝1，∠ABC＝120?，平面ABC外一点P满足PA＝PB＝PC＝2，
则三棱锥P－ABC的体积是（ ）
A． B． C． D．
8．已知正方体外接球的体积是，那么正方体的棱长等于
（A） （B） （C） （D）
9已知各顶点都在一个球面上的正四棱柱高为4，体积为16，则这个球的表面积是
A． B． C． D．
9.C
10．已知球O的表面积为4，A、B、C三点都在球面上，且每两点的球面距离均为，则从球中切截出的四面体OABC的体积是（ ）
A． B． C． D．
11．棱长为a的正方体ABCD―A1B1C1D1中，异面直线A1B与B1C的距离是（ ）
A． B． C． D．
12．过三棱柱任意两个顶点的直线共15条，其中异面直线有
（A）18对 （B）24对 （C）30对 （D）36对
二、填空题（本大题共4小题，每小题4分，共16分）
13．在底面为正方形的四棱锥P－ABCD中，PA底面ABCD，PA＝AB＝2，则三棱锥B－PCD的体积为 。
14． 已知平面和直线，给出条件：①；②；③；④；⑤.（i）当满足条件 时，有；（ii）当满足条件 时，有.（填所选条件的序号）
15．一个正方体的全面积为，它的顶点都在同一个球面上，则这个球的体积为 。
16如图，正方体的棱长为1，C、D分别是两条棱的中点，A、B、M是顶点，那么点M到截面ABCD的距离是 .
三、解答题（本大题共6小题，共74分）
17．如图，在正三棱柱ABC―A1B1C1中，AB＝AA1，D是CC1的中点，F是A1B的中点，
⑴求证：DF∥平面ABC；
⑵求证：AF⊥BD。
18．如图，在直三棱柱中，、分别为、的中点。
（I）证明：ED为异面直线与的公垂线；
（II）设求二面角的大小
19.在直三棱柱中，，．
（1）求异面直线与所成角的大小；
（2）若直线与平面所成角为，求三棱锥的体积．
20．如图，已知正四棱柱ABCD―A1B1C1D1中，底面边长AB＝2，侧棱BB1的长为4，过点B作B1C的垂线交侧棱CC1于点E，交B1C于点F，
⑴求证：A1C⊥平面BDE；
⑵求A1B与平面BDE所成角的正弦值。
21．如图，三棱柱ABC―A1B1C1的各棱长均为2，侧棱B1B与底面ABC成60?的角，
且侧面ABB1A1⊥底面ABC，
⑴求证：AB⊥CB1；⑵求三棱锥B1－ABC的体积；
⑶求二面角C－AB1－B的大小。
22．.如图所示，AF、DE分别是⊙O、⊙O1的直径.AD与两圆所在的平面均垂直，AD＝8,BC是⊙O的直径，AB＝AC＝6，OE//AD.
(Ⅰ)求二面角B―AD―F的大小；
(Ⅱ)求直线BD与EF所成的角.
参考答案
一、选择题
DAABC DDDCA BD
二、填空题
13． 14．③⑤ ②⑤ 15． 16．2/3
三、解答题
17．⑴取AB中点E，则显然有FD∥ECDF∥平面ABC
⑵
18．解法一：（Ⅰ）设O为AC中点，连结EO，BO，则EO 又CC1 B1B，
所以EODB ，则EOBD为平行四边形， ED∥OB
∵ AB = BC，∴ BO⊥AC ，又面ABC⊥面ACC1A1，BO面ABC ，故BO⊥面ACC1A1
∴ ED⊥面ACC1A1，ED⊥AC1，ED⊥CC1 ∴ ED⊥BB1
ED为异面直线AC1与BB1的公垂线
（Ⅱ）联结A1E，由AA1 = AC = AB可知，A1ACC1为正方形，
∴ A1E ⊥AC1 由ED⊥面A1ACC1和ED面ADC1知面ADC1⊥面A1ACC1ED⊥A1E
则A1E⊥面ADE。 过E向AD作垂线，垂足为F，连结A1F，
由三垂线定理知∠A1FE为二面角A1―AD―C1的平面角。
不妨设AA1 = 2 ，则AC = 2 ，AB = ， ED = OB = 1 ，
EF =
所以二面角A1―AD―C1为60°
19．.解：(1) ∵BC∥B1C1, ∴∠ACB为异面直线B1C1与AC所成角(或它的补角)
∵∠ABC=90°, AB=BC=1, ∴∠ACB=45°, ∴异面直线B1C1与AC所成角为45°.
(2) ∵AA1⊥平面ABC,∠ACA1是A1C与平面ABC所成的角, ∠ACA =45°.
∵∠ABC=90°, AB=BC=1, AC=,∴AA1=.
20．⑴由三垂线定理可得，A1C⊥BD，A1C⊥BEA1C⊥平面BDE
⑵以DA、DC、DD1分别为x、y、z轴，建立坐标系，则，
，∴，
∴
设A1C平面BDE＝K，由⑴可知，∠A1BK为A1B与平面BDE所成角，
∴
21．⑴在平面ABB1A1中，作B1D⊥AB，则B1D⊥平面ABC
∴∠B1BD为B1B与平面ABC所成角，∴∠B1BD＝60?
又∵△ABB1和△ABC均为正三角形，∴D为AB中点，∴CD⊥AB，∴CB1⊥AB
⑵易得
⑶过D作DE⊥AB1，连CE，易证：CD⊥平面ABB1A1
由三垂线定理知：CE⊥AB1，∴∠CED为二面角C－AB1－B的平面角。
在Rt△CDE中，tan∠CED＝2，∴二面角C－AB1－B的大小为arctan2
22．解：(Ⅰ)∵AD与两圆所在的平面均垂直,
∴AD⊥AB, AD⊥AF,故∠BAD是二面角B―AD―F的平面角，
依题意可知，ABCD是正方形，所以∠BAD＝450.
即二面角B―AD―F的大小为450；
(Ⅱ)以O为原点，BC、AF、OE所在直线为坐标轴，建立空间直角坐标系（如图所示），则O（0，0，0），A（0，，0），B（，0，0）,D（0，，8），E（0，0，8），F（0，，0）
所以，
设异面直线BD与EF所成角为，则
直线BD与EF所成的角为