逍遥学能 2014-07-13 09:58
谈到古代数学的无穷小分割思想，人们便把目光投向古希腊的穷竭法。实际上，古希腊的数学家并没有使用无穷小分割和极限思想，他们的分割总是有一个剩余，最后用双重归谬法证明已知的命题。在微积分孕育时期的面积元素法产生之前，真正在数学证明中使用无穷小分割和极限思想的是中国数学家，首先是刘徽，后来是祖冲之父子。
无穷小分割思想的萌芽
像古希腊思想家提出了物质无限可分的若干命题一样，中国在先秦也产生了无穷小分割的若干命题。如《庄子·天下篇》引用名家的命题：“一尺之棰，日取其半，万世不竭。”墨家著作《墨子·经下》：“非半弗■则不动，说在端。”《经说下》解释道：“非，■半，进前取也，前则中无为半，犹端也。前后取，则端中也。■必半，毋与非半，不可■也。”显然，墨家和名家的命题是不同的。名家认为无限分割的过程永远不会完结，类似于古希腊的潜无限；墨家认为无限分割的结果终究会达到一个不可再割的端，是一种实无限思想。《庄子·秋水篇》借河神和北海神的对话也阐述了无穷小分割思想。“河伯曰：‘世之议者皆曰：“至精无形，至大不可围。”是信情乎？’北海若曰：‘夫自细视大者不尽，自大视细者不明。夫精，小之微也；?，大之殷也；故异便。此势之有也。夫精粗者，期于有形者也；无形者，数之所不能分也；不可围者，数之所不能穷也。’”这里说的至精无形、无形不能分的思想，和墨家不可■的思想接近。
汉司马迁《史记·酷吏列传》以“破觚而为圜”比喻汉废除秦的严刑苛法。破觚为圆含有朴素的极限思想，大约是司马迁从工匠加工圆形器物化方为圆、化直为曲的实践中总结出来的。这些命题对后来数学中的无穷小分割思想有深刻影响。
刘徽的割圆术
汉代《九章算术》提出了正确的圆面积公式：“术曰：半周半径相乘得
内接正6边形的周长代替圆局长L，以圆内接正12边形面积代替圆面积S，把正12边形拼补成一个以正6边形周长的一半作为长、圆半径r作为宽的长方形来推证上述公式的。刘徽说这“合径率一而外周率三也”，极不严格。为了真正证明圆面积公式，他创造了著名的割圆术。
刘徽从圆内接正6边形开始割圆，依次得到圆内接正6×2、6×22、……边形。显然，圆内接正6×2n边形的面积Sn＜S。然而，随着分割越来越细，S－Sn越来越小，“割之又割，以至于不可割，则与圆周合体
边和圆周之间有一段距离，称作“余径”，把每边长乘余径，总和是2（Sn+1－Sn），加到Sn上，那么Sn＋2（Sn+1－Sn）＞S。然而当n无限大时，6×2n边形和圆周合体，表径等于零，所谓“表无余径，
它的上界序列和下界序列的极限都是圆面积。最后，刘徽把和圆合体的正多边形分割成无穷多个以圆心作为顶点、以每边的长作为底的小等腰三角形，由于以圆的半径乘每边的长是每个小三角形面积的二倍，求这些小三角形面积的总和，即圆半径乘圆周长，就是圆面积的二倍：Lr＝2S，所以S＝
而为圆幂，”完成了证明。
显然，这里含有明显的极限过程和无穷小分割并求它的总和的思想，和面积元素法十分接近。
刘徽批评了以往学者沿袭周三径一的错误，认为上述公式中的“周径，谓至然之数，非周三径一之率也”。为了正确使用这一公式，必须求出这个“至然之数”，即周径相比之率，就是现在所谓圆周率。刘徽从直径2尺的圆的内接正6边形开始割圆，依次求出正6×2、6×22、6×23、6×24边形的边长和6×25边形的面积，取圆内接正6×25边形面积S5的整数部
周长近似值是628分，和直径2尺相约，得周率157，径率50，相当于π＝
刘徽原理
《九章算术》给出了阳马（直角四棱锥）的体积公式
和鳖?（四面都是勾股形的四面体）的体积公式
其中a、b、h分别是长、宽、高。在刘徽之前，对a＝ b＝h的特殊情形，由于一个正方体可以分解成为三个全等的阳马，或六个三三全等两两对称的鳖?，人们容易用棋验法加以证明。但是，当a≠b≠h时，“鳖?殊形”，“阳马异体”，用棋验法“则难为之矣”。为了证明（1）、（2）式，必须另辟蹊径。刘徽首先提出了一个重要原理：把一个堑堵（把一个长方体沿相对两棱斜剖，便得两堑堵）分解为一个阳马和一个鳖?，“阳马居二，鳖?居一，不易之率也。”即在一个堑堵中，恒有
Vy∶Vb＝2∶1。（3）
吴文俊氏把它称作“刘徽原理”（见本书第92页）。显然，只要证明了刘
喻的。刘徽创造了如下的方法证明（3）式：
如图，用三个互相垂直的平面分别平分堑堵的长、宽、高，那么：其中的阳马被分割成一个小长方体Ⅰ，两个小堑堵Ⅱ、Ⅲ，两个小阳马Ⅳ、Ⅴ；鳖?被分割成两个小堑堵Ⅱ′、Ⅲ′，两个小鳖?Ⅳ′、Ⅴ′。显然，小堑堵Ⅱ和Ⅱ′、Ⅲ和Ⅲ′分别可以拼成和Ⅰ全等的小长方体；小阳马Ⅳ和小鳖?Ⅳ′、小阳马Ⅴ和小鳖?Ⅴ′分别是两个小堑堵，又可以拼成第四个全等的小长方体。在小长方体Ⅰ、Ⅱ－Ⅲ′、Ⅲ－Ⅲ′中，属于阳马的和属于鳖?的体积的比是2∶1，所谓“别种而方者率居三”，即在
其中两小堑堵的结构和原堑堵完全相似，所谓“通其体而方者率居一”。显然，上述分割过程完全可以继续在剩余的两个小堑堵中施行，又可以证明在
之，安取余哉？”就是在整个堑堵中证明了（3）式。
刘徽之前，人们所使用的棋验法，无需知道阳马、鳖?的体积公式，并且无法证明各种多面体的一般体积公式。刘徽却在首先解决了长方体、堑堵、阳马、鳖?的体积公式之后，把其他多面体分割成有限多个长方体、堑堵、阳马、鳖?，求它们的体积的和来解决这些多面体的体积问题。刘徽说：“不有鳖?，无以审阳马之数，不有阳马，无以知锥亭之类，功实之主也。”这种把多面体体积理论建立在阳马、鳖?基础上的思想，也就是建立在无穷小分割基础上的思想，和现代数学的体积理论惊人地一致。刘徽在公元三世纪就开始考虑十九世纪困扰着高斯、希耳伯特等数学大师的课题：四面体体积的解决不借助于无穷小分割是不可能的。刘徽的贡献受到1985年法国布尔巴基学派举行的希耳伯特第三问题学术讨论会的颂扬，是当之无愧的。
祖?原理和球体积
唐季淳风等注释《九章算术》时所引祖?开立圆术提出了一条重要原理：“夫叠棋成立积，缘幂势既同，则积不容异。”就是说：同高的两立体如果等高处的截面积恒相等，那么它们的体积一定相等。现在称它作“祖?原理”，它在西方称卡瓦列里原理（公元1635年）。
更一般地，如果同高的两立体等高处的截面积恒成定比，那么它们的体积必成定比。这一原理是中国古代解决体积问题的另一重要理论，实际上是另一种形式的无穷小分割。
有证据表明，早在《九章算术》时代，人们就通过比较圆锥和方锥、圆台和方台的底面积，由后者推得前者的体积公式，水平大体和欧几里得《几何原本》的有关论述相仿佛。刘徽的认识却进了一大步。他认识到，不仅要比较底面积，而且要比较任意等高处的截面积。这在羡除术注中表述得特别清楚。他为了解决羡除（一种楔形体）的体积，需要从长方锥分割出一种特殊的鳖?（仍是四面体）并求它的体积，于是刘徽提出了“上连无成不方，故方锥与阳马同实”的原理。“成”就是“层”，这是说，同底等高的方锥和阳马每一层都是相等的方形，所以它们的体积相等。联系到刘徽割圆时会达到不可割的境地的思想，我们认为刘徽是把立体看成由不可再分的薄片叠合而成的，后来卡瓦列里的不可分量和这类似。正是基于这一认识，刘徽明确提出了圆锥和外切方锥、圆台和外切方台的体积的比是π∶4，并指出了《九章算术》所蕴涵的球体积公式139 的错误，错误的原因在于误以为球和它的外切圆柱的体积的比是π∶4。他用球的两个外切圆柱体正交，它们的公共部分称做“牟合方盖”，指出球和外切牟合方盖的体积的比才是π∶4。显然，只要求出牟合方盖的体积，那么球体积便迎刃而解。刘徽功亏一篑，未能求出牟合方盖的体积，但是他坦诚地记下了自己的困惑，表示“敢不阙疑，以俟能言者”，表现了一位伟大学者实事求是、寄希望于后学的坦荡胸怀。
二百年后的祖?深入研究了球的外切正方体中用两个正交圆柱切割出牟合方盖后的剩余部分。他考虑这剩余部分的八分之一，在正方体内而在牟合方盖外的部分被切割成了三块，叫作外三棋。他利用勾股定理等知识，求出外三棋的每一层的截面积的和都等于一个倒置的长、宽、高都等于球半径的阳马的等高处的截面积。由祖?原理，外三棋的体积等于这倒置阳马的体
外三棋的每一块截面积的变化都不是线性的，然而它们同一截面的截面积的和的变化却是线性的。祖?在应用后来以他的名字命名的原理上比刘徽更加灵活，认识也更加深刻。
李善兰的尖锥求积术
刘徽、祖冲之父子之后一千多年间，我国的无穷小分割思想没有什么新的进展。直到清代中叶以后，明安图在研究三角函数幂级数展开式时提出“析之至于无穷”的思想，项名达、戴煦（1805－1860）的椭圆求周的计算方法符合椭圆积分法的原则，并重新涉及这个领域。而最值得称道的是李善兰（1811－1882）于清道光二十五年（公元1845年）发表的《方圆阐幽》、《弧矢启秘》、《对数探源》这三种关于三角函数、对数函数和指数函数的幂级数展开式的研究成果。其中的尖锥求积术提出了几个相当于定积分公式的命题，如“当知诸尖锥有积叠之理”，表示当0≤x≤h时，xn的平面积叠成一尖锥体，而由平面积axn积叠起来的尖锥体高h，底面积ah2，它的
合并成为一个尖锥，相当于定积分
李善兰用尖锥求积术解决了许多问题。以圆面积的计算为例。如图，考虑直径是2的圆和它的外切正方形的四分之一，分别是OAQC和OABC。方内圆外的部分是一平面尖锥ABCQ，它由ABD、ADE、AEF、AFG、……等无限个平面尖锥组成。诸尖锥的底
…。令x＝1，上列级数的各项就是诸尖锥的底BD、DE、EF、……。依据尖锥求积术，方内圆外的部分的面积是
从而圆面积是
李善兰的尖锥求积术是在他接触西方微积分学思想之前发明的，表明中国数学家完全有能力独立地打开微积分学的大门。由于种种原因，中国没有经历这个过程，而尖锥求积术为李善兰不久以后和伟烈亚力合译西方数学著作，把微积分学引入我国，作了准备。