逍遥学能 2014-07-09 15:43
2013年普通高等学校招生全国统一考试（广东卷）
数学（文科A卷）解析
从今以后，不再是大学特学综合科，而是大学特学数学科了！让别的科扼杀学生的能力吧，数学出基础题就好——感恩广东今年数学出题老师
本试卷共4页，21小题，满分150分．考试用时120分钟．
锥体的体积公式： ．其中S表示锥体的底面积，h表示锥体的高．
一、：本大题共10小题，每小题5分，满分50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．设集合 ， ，则
A． B． C． D．
【解析】：先解两个一元二次方程，再取交集，选A，5分到手，妙！
2．函数 的定义域是
A． B． C． D．
【解析】：对数真数大于零，分母不等于零，目测C！
3．若 ， ，则复数 的模是
A．2 B．3 C．4 D．5
【解析】：复数的运算、复数相等，目测 ，模为5，选D.
4．已知 ，那么
A． B． C． D．
【解析】：考查三角函数诱导公式， ，选C.
5．执行如图1所示的程序框图，若输入 的值为3，则输出 的值是
A．1 B．2 C．4 D．7
【解析】选C.本题只需细心按程序框图运行一下即可.
6．某三棱锥的三视图如图2所示，则该三棱锥的体积是
A． B． C． D．
【解析】由三视图判断底面为等腰直角三角形，三棱锥的高为2，则 ，选B.
7．垂直于直线 且与圆 相切于第一象限的直线方程是
A． B．
C． D．
【解析】本题考查直线与圆的位置关系，直接由选项判断很快，圆心到直线的距离等于 ，排除B、C；相切于第一象限排除D，选A.直接法可设所求的直线方程为： ，再利用圆心到直线的距离等于 ，求得 .
8．设 为直线， 是两个不同的平面，下列命题中正确的是
A．若 ， ，则 B．若 ， ，则
C．若 ， ，则 D．若 ， ，则
【解析】基础题，在脑海里把线面可能性一想，就知道选B了.
9．已知中心在原点的椭圆C的右焦点为 ，离心率等于 ，则C的方程是
A． B． C． D．
【解析】基础题， ，选D.
10．设 是已知的平面向量且 ，关于向量 的分解，有如下四个命题：
①给定向量 ，总存在向量 ，使 ；
②给定向量 和 ，总存在实数 和 ，使 ；
③给定单位向量 和正数 ，总存在单位向量 和实数 ，使 ；
④给定正数 和 ，总存在单位向量 和单位向量 ，使 ；
上述命题中的向量 ， 和 在同一平面内且两两不共线，则真命题的个数是
A．1B．2C．3D．4
【解析】本题是中的压轴题，主要考查平面向量的基本定理和向量加法的三角形法则.
利用向量加法的三角形法则，易的①是对的；利用平面向量的基本定理，易的②是对的；以 的终点作长度为 的圆，这个圆必须和向量 有交点，这个不一定能满足，③是错的；利用向量加法的三角形法则，结合三角形两边的和大于第三边，即必须 ，所以④是假命题.综上，本题选B.平面向量的基本定理考前还强调过，不懂学生做得如何.
【品味选择题】文科选择题答案：ACDCC BABDB.选择题3322再次出现！今年的选择题很基础，希望以后高考年年出基础题！
二、题：本大题共5小题．考生 作答4小题．每小题5分，满分20 分．
（一）必做题（11～13题）
11．设数列 是首项为 ，公比为 的等比数列，则
【解析】这题相当于直接给出答案了
12．若曲线 在点 处的切线平行于 轴，则 ．
【解析】本题考查切线方程、方程的思想.依题意
13．已知变量 满足约束条件 ，则 的最大值是．
【解析】画出可行域如图，最优解为 ，故填 5 ；
（二）选做题（14、15题，考生只能从中选做一题）
14．（坐标系与参数方程选做题）
已知曲线 的极坐标方程为 ．以极点为原点，极轴为 轴的正半轴建立直角坐标系，则曲线 的参数方程为 ．
【解析】本题考了备考弱点.讲参数方程的时候，参数的意义要理解清楚.先化成直角坐标方程 ，易的则曲线C的参数方程为 （ 为参数）
15．（几何证明选讲选做题）
如图3，在矩形 中， ， ，垂足为 ，则 ．
【解析】本题对数值要敏感，由 ，可知
从而 ，
.
【品味题】选做题还是难了点，比理科还难些.
三、解答题：本大题共6小题，满分80分．解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤．
16．（本小题满分12分）
已知函数 ．
(1) 求 的值；
(2) 若 ，求 ．
【解析】(1)
（2） ， ，
．
【解析】这个题实在是太简单，两角差的余弦公式不要记错了.
17．（本小题满分13分）
从一批苹果中，随机抽取50个，其重量（单位：克）的频数分布表如下：
分组（重量）
频数（个）5102015
(1) 根据频数分布表计算苹果的重量在 的频率；
(2) 用分层抽样的方法从重量在 和 的苹果中共抽取4个，其中重量在 的有几个？
(3) 在（2）中抽出的4个苹果中，任取2个，求重量在 和 中各有1个的概率．
【解析】（1）苹果的重量在 的频率为 ；
（2）重量在 的有 个；
（3）设这4个苹果中 分段的为1， 分段的为2、3、4，从中任取两个，可能的情况有：
（1，2）（1，3）（1，4）（2，3）（2，4）（3，4）共6种；设任取2个，重量在 和 中各有1个的事件为A，则事件A包含有（1，2）（1，3）（1，4）共3种，所以 .
【解析】这个基础题，我只强调：注意格式！
18．（本小题满分13分）
如图4，在边长为1的等边三角形 中， 分别是 边上的点， ， 是 的中点， 与 交于点 ，将 沿 折起，得到如图5所示的三棱锥 ，其中 ．
(1) 证明： //平面 ；
(2) 证明： 平面 ；
(3) 当 时，求三棱锥 的体积 ．
【解析】（1）在等边三角形 中，
,在折叠后的三棱锥 中
也成立， , 平面 ，
平面 ， 平面 ；
（2）在等边三角形 中， 是 的中点，所以 ①， .
在三棱锥 中， ， ②
；
（3）由（1）可知 ，结合（2）可得 .
【解析】这个题是入门级的题，除了立体几何的内容，还考查了平行线分线段成比例这个平面几何的内容.
19．（本小题满分14分）
设各项均为正数的数列 的前 项和为 ，满足 且 构成等比数列．
(1) 证明： ；
(2) 求数列 的通项公式；
(3) 证明：对一切正整数 ，有 ．
【解析】（1）当 时， ，
（2）当 时， ，
,
当 时， 是公差 的等差数列.
构成等比数列， ， ，解得 ,
由（1）可知，
是首项 ,公差 的等差数列.
数列 的通项公式为 .
（3）
【解析】本题考查很常规，第（1）（2）两问是已知 求 ， 是等差数列，第（3）问只需裂项求和即可，估计不少学生猜出通项公式，跳过第（2）问，作出第（3）问.本题易错点在分成 ， 来做后，不会求 ，没有证明 也满足通项公式.
20．（本小题满分14分）
已知抛物线 的顶点为原点，其焦点 到直线 的距离为 ．设 为直线 上的点，过点 作抛物线 的两条切线 ，其中 为切点．
(1) 求抛物线 的方程；
(2) 当点 为直线 上的定点时，求直线 的方程；
(3) 当点 在直线 上移动时，求 的最小值．
【解析】（1）依题意 ，解得 （负根舍去）
抛物线 的方程为 ；
（2）设点 , ， ，
由 ,即 得 .
∴抛物线 在点 处的切线 的方程为 ，
即 .
∵ ， ∴ .
∵点 在切线 上, ∴ . ①
同理， . ②
综合①、②得，点 的坐标都满足方程 .
∵经过 两点的直线是唯一的，
∴直线 的方程为 ，即 ；
（3）由抛物线的定义可知 ，
所以
联立 ，消去 得 ，
当 时， 取得最小值为
【解析】2013广州模直接命中了这一题，广一模20题解法2正是本科第（2）问的解法，并且广一模大题结构和高考完全一致. 紫霞仙子：我的意中人是个盖世英雄，有一天他会踩着七色云彩来娶我，我只猜中了前头，可是我却猜不中这结局……形容这次高考，妙极！
21．（本小题满分14分）
设函数 ．
(1) 当 时,求函数 的单调区间；
(2) 当 时,求函数 在 上的最小值 和最大值 ．
【解析】：
(1)当 时
, 在 上单调递增.
（2）当 时， ，其开口向上，对称轴 ，且过
（i）当 ，即 时， ， 在 上单调递增，
从而当 时， 取得最小值 ,
当 时， 取得最大值 .
（ii）当 ，即 时，令
解得： ,注意到 ,
(注：可用韦达定理判断 ， ,从而 ；或者由对称结合图像判断)
的最小值 ,
的最大值
综上所述，当 时， 的最小值 ,最大值
解法2（2）当 时，对 ，都有 ，故
故 ，而 ，
所以 ，
【解析】：看着容易，做着难！常规解法完成后，发现不用分类讨论，奇思妙解也出现了：结合图像感知 时最小， 时最大，只需证 即可，避免分类讨论.本题第二问关键在求最大值，需要因式分解比较深的功力，这也正符合了2012年高考年报的“对中学教学的要求——重视高一教学与初中课堂衔接课”.