逍遥学能 2014-06-11 13:28
对称问题是高中数学的重要内容之一，在高考数学试题中常出现一些构思新颖解法灵活的对称问题，为使对称问题的知识系统化，本文特作以下归纳。
一、点关于已知点或已知直线对称点问题
1、设点P(x，y)关于点(a,b)对称点为P′(x′，y′)，
x′=2a-x
由中点坐标公式可得：y′=2b-y
2、点P(x，y)关于直线L：Ax+By+C=O的对称点为
x′=x-(Ax+By+C)
P′(x′，y′)则
y′=y-(AX+BY+C)
事实上：∵PP′⊥L及PP′的中点在直线L上，可得：Ax′+By′=-Ax-By-2C
解此方程组可得结论。
(- )=-1(B≠0)
特别地，点P(x，y)关于
1、x轴和y轴的对称点分别为(x，-y)和(-x，y)
2、直线x=a和y=a的对标点分别为(2a-x，y)和(x，2a-y)
3、直线y=x和y=-x的对称点分别为(y，x)和(-y，-x)
例1 光线从A(3,4)发出后经过直线x-2y=0反射，再经过y轴反射，反射光线经过点B(1,5)，求射入y轴后的反射线所在的直线方程。
解：如图，由公式可求得A关于直线x-2y=0的对称点
A′(5,0)，B关于y轴对称点B′为(-1,5)，直线A′B′的方程为5x+6y-25=0
`C(0, )
`直线BC的方程为：5x-6y+25=0二、曲线关于已知点或已知直线的对称曲线问题
二、曲线关于已知点或已知直线的对称曲线问题
求已知曲线F(x，y)=0关于已知点或已知直线的对称曲线方程时，只须将曲线F(x，y)=O上任意一点(x，y)关于已知点或已知直线的对称点的坐标替换方程F(x，y)=0中相应的作称即得，由此我们得出以下结论。
1、曲线F(x，y)=0关于点(a,b)的对称曲线的方程是F(2a-x，2b-y)=0
2、曲线F(x，y)=0关于直线Ax+By+C=0对称的曲线方程是F(x-(Ax+By+C)，y-(Ax+By+C))=0
特别地，曲线F(x，y)=0关于
(1)x轴和y轴对称的曲线方程分别是F(x，-y)和F(-x，y)=0
(2)关于直线x=a和y=a对称的曲线方程分别是F(2a-x，y)=0和F(x，2a-y)=0
(3)关于直线y=x和y=-x对称的曲线方程分别是F(y，x)=0和F(-y，-x)=0
除此以外还有以下两个结论：对函数y=f(x)的图象而言，去掉y轴左边图象，保留y轴右边的图象，并作关于y轴的对称图象得到y=f(x)的图象;保留x轴上方图象，将x轴下方图象翻折上去得到y=f(x)的图象。
例2(全国高考试题)设曲线C的方程是y=x3-x。将C沿x轴y轴正向分别平行移动t，s单位长度后得曲线C1：