逍遥学能 2014-06-06 10:41
重难点：理解异面直线的概念，能计算异面直线所成角；掌握公理4及等角定理．
经典例题：如图，直线a,b是异面直线，A、B、C为直线a上三点,D、E、F是直线b上三点，A 、B 、
C、D 、E分别为AD、DB、BE、EC、CF的中点．
求证：（1）=；
（2）A 、B 、C、D 、E共面．
当堂练习：
1．若a ,b是异面直线, b, c是异面直线, 则a ,c的位置关系是（ ）
A． 相交、平行或异面 B． 相交或平行 C． 异面 D． 平行或异面
2．分别和两条异面直线都相交的两条直线的位置关系是（ ）
A．异面 B． 相交 C．平行 D．异面或相交
3．在正方体ABCD-A1B1C1D1中，与对角线AC1异面的棱有（ ）
A．3条 B． 4条 C． 6条 D． 8条
4．已知a ，b是异面直线，直线c平行于直线a，那么c与b（ ）
A． 一定是异面直线 B．一定是相交直线
C． 不可能是平行直线 D．不可能是相交直线
5．下面命题中，正确结论有（ ）
如果一个角的两边与另一个角的两边分别平行，那么这两个角相等；
如果两条相交直线和另两条相交直线分别平行，那么这两组直线所成的锐角（或直角）相等；
如果一个角的两边和另一个角的两边分别垂直，那么这两个角相等或互补；
④ 如果两条直线同平行于第三条直线，那么这两条直线互相平行．
A． 1个 B． 2个 C． 3个 D．4个
6．下列命题中正确命题的个数是（ ）
两条直线和第三条直线等角，则这两条直线平行；
平行移动两条异面直线中的任何一条，它们所成的角不变；
过空间四边形ABCD的顶点A引CD的平行线段AE, 则BAE是异面直线AB与CD所成的角;
④ 四边相等, 且四个角也相等的四边形是正方形.
A． 0 B． 1 C． 2 D． 3
7．已知异面直线a,b分别在内，面=c，则直线c（ ）
A．一定与a,b中的两条都相交 B．至少与a,b中的一条都相交
C．至多与a,b中的一条都相交 D．至少与a,b中的一条都平行
8．两条异面直线所成的角指的是（ ）
①两条相交直线所成的角; ②过空间中任一点与两条异面直线分别平行的两条相交直线所成的锐角或直角; ③过其中一条上的一点作与另一条平行的直线, 这两条相交直线所成的锐角或直角; ④ 两条直线既不平行又不相交, 无法成角．
A．①② B．②③ C．③④ D．①④
9．空间四边形ABCD中, AB、BC、CD的中点分别是P、Q、R , 且PQ=2 , QR=, PR=3 ,那么异面直线AC和BD所成的角是（ ）
A． 900 B． 600 C． 450 D．300
10．直线a与直线b、c所成的角都相等, 则b、c的位置关系是（ ）
A．平行 B．相交 C． 异面 D． 以上都可能
11．空间四边形ABCD的两条对角线AC和BD的长分别为6和4，它们所成的角为900，则四边形两组对边中点的距离等于（ ）
A． B． C． 5 D． 以上都不对
12．如图，ABCD—A1B1C1D1是正方体，E，F，G，H，M，N分别是所在棱的中点，
则下列结论正确的是（ ）
A．GH和MN是平行直线；GH和EF是相交直线
B．GH和MN是平行直线；MN和EF是相交直线
C．GH和MN是相交直线；GH和EF是异面直线
D．GH和EF是异面直线；MN和EF也是异面直线
13．点A是等边三角形BCD所在平面外一点, AB=AC=AD=BC=a, E、F分别在AB、CD上，且，设，表示EF与AC所成的角，表示EF与BD所成的角，则（ ）
在上是增函数 B． 在上是增函数
C． 在上是增函数，在上是减函数 D． 在上是常数
14．直线a、b不在平面内，a、b在平面内的射影是两条平行直线，则a、b的位置关系是_______________________．
15．正方体ABCD-A1B1C1D1中，E、F、G、H分别为AA1、CC1、C1D1、D1A1的中点，则四边形EFGH的形状是___________________．
16．空间四边形ABCD中, AD=1 , BC=, BD=, AC=, 且, 则异面直线AC和BD所成的角为__________________．
17．已知a ,b是一对异面直线，且a ,b成700角, 则在过P点的直线中与a ,b所成的角都为700的直线有____________条．
18．已知AC的长为定值，D平面ABC，点M、N分别是DAB和DBC的重心．
求证: 无论B、D如何变换位置, 线段MN的长必为定值．
19．M、N分别是正方体ABCD-A1B1C1D1的棱BB1、B1C1的中点，(1)求MN与AD所成的角；(2)求MN与CD所成的角．
20．如图，已知空间四边形ABCD的对角线AC=14cm,BD=14cm，M，N分别是AB，CD的中点，MN=7cm，
求异面直线AC与BD所成的角．
21．在共点O的三条不共面直线a、b、c上，在点O的同侧分别取点A的A1、B的B1、C和C1，使得.
求证: ∽A1B1C1 ．
参考答案：
经典例题：证明：⑴
．
⑵ A 、B 、C、D 、E共面．
当堂练习：
1.A; 2.D; 3.C; 4.C; 5.B; 6.B; 7.B; 8.B; 9.A; 10.D; 11.A; 12.B; 13.D; 14. 平行或异面; 15. 等腰梯形; 16. 900; 17. 4;
18.如图, 延长DM交AB于F, 延长DN交BC于E, M、N为重心,
F、E分别为AB、BC的中点.
||AC且EF=又在DEF中, DM: MF=DN: NE=2: 1,
||EF且MN=,
且MN=即MN为与BD无关的定值.
19. 解（1）：在正方体ABCD-A1B1C1D1中，
AD||B1C1 B1C1与MN所成的锐角（或直角）是AB、CD所成的角
B1NM=450 MN与AD所成的角为450。
解（2）：连接A1B，过M在面A1B中作A1B的平行线交A1B1于点L，
连接LN，LM||D1CLMN（或其补角）即为MN与CD所成的角．
LMN=600 MN与CD所成的角为600．
20.解: 取BC的中点P，连接PM，PN，可证MPN（或其补角）是异面直线AC与BD所成的角，
在PMN中，由MP=NP=7, MN=7,可得cosMPN=,MPN=1200．
则异面直线AC与BD所成的角为600．
21., .
在平面OAB和平面OAC中,有A1B1||AB , A1C1||AC , B1A1C1,
同理: A1B1C1, ∽A1B1C1 .