逍遥学能 2014-05-30 12:40
【—三线合一证明】知识要领：等腰三角形底边上的高、底边上的中线、顶角平分线相互重合。
三线合一的证明
已知：△ABC为等腰三角形，AD为中线。求证：AD垂直平分BC，BD=DC
∵△ABC为等腰三角形 (已知)
∴AB=AC(等腰三角形的性质)
∴∠B=∠C(等边对等角)
在△ABD和△ADC中：
∵AD为中线(已知)
∴BD=DC(等腰三角形中线为垂直平分线)
∵AD为公共边
∴△ADB≌△ADC(S.A.S)
可得∠BAD=∠CAD，∠ADB=∠ADC(全等三角形对应角相等)
∵∠ADB+∠ADC=∠BDC(已证)，且∠BDC=180度(平角定义)
∴∠ADB=∠ADC=90°(等量代换)
得证
逆定理
① 如果三角形中任一角的角平分线和它所对边的高重合，那么这个三角形是等腰三角形。
② 如果三角形中任一边的中线和这条边上的高重合，那么这个三角形是等腰三角形。
——为什么“如果三角形中任一角的角平分线和它所对边的中线重合，那么这个三角形是等腰三角形”不成立?
因为：角平分线和中线重合，只能说明左右两个三角形的：1)角平分线两旁的角相等;2)中线旁的两条边相等;3)另一条边相等。而全等三角形的判定定理中没有ASS这一条，故不成立。
知识归纳：其中一边上的中线与此边对角角平分线重合推证等腰三角形，可应用正弦定理，或过此边中点作另外两边垂线。