逍遥学能 2018-10-09 12:46
一、选择题
1．某商店某种商品(以下提到的商品均指该商品)进货价为每件40元，当售价为50元时，一个月能卖出500件．通过市场调查发现，若每件商品的单价每提高1元，则商品一个月的销售量会减少10件．商店为使销售该商品的月利润最高，应将每件商品定价为( )
A．45元 B．55元
C．65元 D．70元
[答案] D
[解析] 设每件商品定价为x元，则一个月的销量为500－(x－50)×10＝1000－10x件，
故月利润为y＝(x－40)•(1000－10x)
＝－10(x－40)(x－100)，
∵x>401000－10x>0，∴40
2．某债券市场发行三种债券，A种面值为100元，一年到期本息和为103元；B种面值为50元，半年到期本息和为51.4元；C种面值为100元，但买入价为97元，一年到期本息和为100元．作为购买者，分析这三种债券的收益，从小到大排列为( )
A．B，A，C B．A，C，B
C．A，B，C D．C，A，B
[答案] B
[解析] A种债券的收益是每100元收益3元；B种债券的利率为51.4－5050，所以100元一年到期的本息和为100(1＋51.4－5050)≈105.68(元)，收益为5.68元；C种债券的利率为100－97100，100元一年到期的本息和为100(1＋100－9797)≈103.09(元)，收益为3.09元．
3．某厂原来月产量为a，一月份增产10%，二月份比一月份减产10%，设二月份产量为b，则( )
A．a＝b B．a>b
C．a[答案] B
[解析] 一月份产量为a(1＋10%)，二月份产量b＝a(1＋10%)(1－10%)＝a(1－1%)，
∴b4．甲、乙两人在一次赛跑中，路程S与时间t的函数关系如图所示，则下列说法正确的是( )
A．甲比乙先出发
B．乙比甲跑的路程多
C．甲、乙两人的速度相同
D．甲先到达终点
[答案] D
[解析] 从图可以看出，甲、乙两人同时出发(t＝0)，跑相同多的路程(S0)，甲用时(t1)比乙用时(t2)较短，即甲比乙的速度快，甲先到达终点．
5．如图所示，花坛水池中央有一喷泉，水管OA＝1m，水从喷头A喷出后呈抛物线状，先向上至最高点落下，若最高点距水面2m，A离抛物线对称轴1m，则在水池半径的下列可选值中，最合算的是( )
A．3.5m B．3m
C．2.5m D．2m
[答案] C
[解析] 建立如图坐标系，据题设y轴右侧的抛物线方程为y＝a(x－1)2＋2.
∵抛物线过点A(0,1)
∴将(0,1)点代入方程得a＝－1，∴y＝－(x－1)2＋2.
令y＝0，得x＝1＋2，x＝1－2(舍)，故落在水面上的最远点B到O点距离为(1＋2)m，考虑合算，须达到要求条件下用料最少，∴选C.
6．某市原来民用电价为0.52元/kw•h.换装分时电表后，峰时段(早上八点到晚上九点)的电价为0.55元/kw•h，谷时段(晚上九点到次日早上八点)的电价为0.35元/kw•h.对于一个平均每月用电量为200kw•h的家庭，要使节省的电费不少于原来电费的10%，则这个家庭每月在峰时段的平均用电量( )
A．至少为82kw•h
B．至少为118kw•h
C．至多为198kw•h
D．至多为118kw•h
[答案] D
[解析] ①原来电费y1＝0.52×200＝104(元)．
②设峰时段用电为xkw•h，电费为y，
则y＝x×0.55＋(200－x)×0.35＝0.2x＋70，由题意知0.2x＋70≤(1－10%)y1，
∴x≤118.
答：这个家庭每月在峰时段的平均用电量至多为118kw•h.
二、填空题
7．英语老师准备存款5000元．银行的定期存款中存期为1年的年利率1.98%.试计算五年后本金和利息共有________元．
[答案] 5514.99
[解析] 根据题意，五年后的本息共5000(1＋1.98%)5＝5514.99(元)．
8．设物体在8∶00到16∶00之间的温度T是时间t的函数：T(t)＝at2
2＋bt＋c(a≠0)，其中温度的单位是°C，时间的单位是小时，t＝0表示12∶00，t取正值表示12∶00以后，若测得该物体在8∶00的温度为8°C，12∶00的温度为60°C,13∶00的温度为58°C，则T(t)＝________.
[答案] －3t2＋t＋60
[解析] 将t＝－4，T＝8；t＝0，T＝60；t＝1，T＝58分别代入函数表达式中即可解出a＝－3，b＝1，c＝60.
三、解答题
9．某物品的价格从1964年的100元增加到2004年的500元，假设该物品的价格年增长率是平均的，那么2010年该物品的价格是多少？(精确到元)
[解析] 从1964年开始，设经过x年后物价为y，物价增长率为a%，则y＝100(1＋a%)x，将x＝40，y＝500代入得500＝100(1＋a%)40，解得a＝4.1，故物价增长模型为y＝100(1＋4.1%)x.
到2010年，x＝46，代入上式得y＝100(1＋4.1%)46≈635(元)．
10．有甲、乙两个水桶，开始时水桶甲中有a升水，水通过水桶甲的底部小孔流入水桶乙中，t分钟后剩余的水符合指数衰减曲线y＝ae－nt，假设过5分钟时水桶甲和水桶乙的水相等，求再过多长时间水桶甲的水只有a8.
[解析] 由题意得ae－5n＝a－ae－5n，即e－5n＝12，设再过t分钟桶甲中的水只有a8，得ae－n(t＋5)＝a8，所以(12)t＋55＝(e－5n)t＋55＝e－n(t＋5)＝18＝(12)3，∴t＋55＝3，∴t＝10.∴再过10分钟桶甲的水只有a8.
11．某报纸上报道了两则广告，甲商厦实行有奖销售：特等奖10000元1名，一等奖1000元2名，二等奖100元10名，三等奖5元200名，乙商厦则实行九五折优惠销售．请你想一想；哪一种销售方式更吸引人？哪一家商厦提供给消费者的实惠大．面对问题我们并不能一目了然．于是我们首先作了一个随机调查．把全组的16名学员作为调查对象，其中8人愿意去甲家，6人喜欢去乙家，还有两人则认为去两家都可以．调查结果表明：甲商厦的销售方式更吸引人，但事实是否如此呢？请给予说明．
[解析] 在实际问题中，甲商厦每组设奖销售的营业额和参加抽奖的人数都没有限制．所以这个问题应该有几种情形：
(1)若甲商厦确定每组设奖．当参加人数较少时，少于1＋2＋10＋200＝213人，人们会认为获奖机率较大，则甲商厦的销售方式更吸引顾客．
(2)若甲商厦的每组营业额较多时，他给顾客的优惠幅度就相应的小．因为甲商厦提供的优惠金额是固定的，共10000＋2000＋1000＋1000＝14000元．假设两商厦提供的优惠都是14000元，则可求乙商厦的营业额为14000÷5%＝280000.
所以由此可得：
(1)当两商厦的营业额都为280000元时，两家商厦所提供的优惠同样多．
(2)当两商厦的营业额都不足280000元时，乙商厦的优惠则小于14000元，所以这时甲商厦提供的优惠仍是14000元，优惠较大．
(3)当两家的营业额都超过280000元时，乙商厦的优惠则大于14000元，而甲商厦的优惠仍保持14000元时，乙商厦所提供的优惠大．
12．某种新栽树木5年成材，在此期间年生长率为20%，以后每年生长率为x%(x<20)．树木成材后，既可以砍伐重新再栽，也可以继续让其生长，哪种方案更好？
[解析] 只需考虑10年的情形．设新树苗的木材量为Q，则连续生长10年后木材量为：Q(1＋20%)5(1＋x%)5,5年后再重栽的木材量为2Q(1＋20%)5，画出函数y＝(1＋x%)5与y＝2的图象，用二分法可求得方程(1＋x%)5＝2的近似根x＝14.87，故当x<14.87%时就考虑重栽，否则让它继续生长．
*13.(湖南长沙同升湖实验学校高一期末)商场销售某一品牌的羊毛衫，购买人数n是羊毛衫标价x的一次函数，标价越高，购买人数越少．已知标价为每件300元时，购买人数为零．标价为每件225元时，购买人数为75人，若这种羊毛衫的成本价是100元/件，商场以高于成本价的相同价格(标价)出售，问：
(1)商场要获取最大利润，羊毛衫的标价应定为每件多少元？
(2)通常情况下，获取最大利润只是一种“理想结果”，如果商场要获得最大利润的75%，那么羊毛衫的标价为每件多少元？
[解析] (1)设购买人数为n人，羊毛衫的标价为每件x元，利润为y元，则n＝kx＋b(k<0)，
∴0＝300k＋b75＝225k＋b，∴k＝－1b＝300，
∴n＝－x＋300.
y＝－(x－300)•(x－100)＝－(x－200)2＋10000，x∈(10
0,300]
∴x＝200时，ymax＝10000
即商场要获取最大利润，羊毛衫的标价应定为每件200元．
(2)由题意得，－(x－300)•(x－100)＝10000×75%
∴x2－400x＋30000＝－7500，
∴x2－400x＋37500＝0，
∴(x－250)(x－150)＝0
∴x1＝250，x2＝150
所以当商场以每件150元或250元出售时，可获得最大利润的75%.
14．学校请了30名木工，要制作200把椅子和100张课桌．已知制作一张课桌与制作一把椅子的工时数之比为10∶7，问30名工人应当如何分组(一组制课桌，另一组制椅子)，能使完成全部任务最快？
[分析] 制作课桌和椅子中所花较多的时间即为完成任务的时间，只要它最小，即完成任务最快．
[解析] 设x名工人制课桌，(30－x)名工人制椅子，一个工人在一个单位时间里可制7张课桌或10把椅子，
∴制作100张课桌所需时间为函数P(x)＝1007x，
制作200把椅子所需时间为函数Q(x)＝20010(30－x)，
完成全部任务所需的时间f(x)为P(x)与Q(x)中的较大值．
欲使完成任务最快，须使P(x)与Q(x)尽可能接近(或相等)．
令P(x)＝Q(x)，即1007x＝20010(30－x)，
解得x＝12.5，∵人数x∈N，考察x＝12和13的情形有P(12)≈1.19，Q(12)≈1.111，P(13)≈1.099，Q(13)≈1.176，∴f(12)＝1.19，f(13)＝1.176，
∵f(12)>f(13)，∴x＝13时，f(x)取最小值，∴用13名工人制作课桌，17名工人制作椅子完成任务最快．
[点评] 本题有几点需特别注意，人数x必须是自然数，故P(x)与Q(x)不相等，f(x)是P(x)与Q(x)中的较大者，完成任务最快的时间是f(x)的最小值．