2018年中考数学专题：五种基本图形在解题中的应用

五种基本图形在解题中的应用
    初中几何中有许多基本图形，这些基本图形与其它知识点组合在一起，共同演绎着变化无穷的几何综合性问题.解决这类问题，一般要分离或者构 造 出基本图形，然后应用基本图形的性质及相关结 论解决问题.本文 介绍常见的五种基本图形及其应用，供大家参考.
    基本图形1  如图1所示， 是圆内接三角形，直线 经过点 .
    结论1  若 ( )，则直线 与圆 相切.
    结论2  若 ( )，则直线 与圆 相切.
应用1  如图2， 是⊙ 的直径， 、 分别是 的角平分线与⊙ 、 的交点， 为直线 延长线上一点，且 .判断直线 与⊙ 的位置关系，并说明理由.
 
    分析  本题考察了角平分线、三角形的外角、等腰三角形、圆周角定理等相关知识点问题的突破口在于能否识别弦切角基本模型，即 ，问题就转化为结论1.
    基本图形2  如图3所示， ，则 ， .
    这是相似三角形常见的基本图形，反映的是部分与整体相似，两个三角形拥有一个公共角，只要再找出一组对应角相等即可，利用相似三角形对应线段成比例，进而化成等积的形式即可.
 
    应用1  如图4 ， 与圆 相切，切点为 ，连结 并延长，与圆 交于点 、 ，连结 ， ，求证:
    (1 ) ;
    (2)若 ， ，求圆 的半径及 .
    分析  这是一道圆与相似三角形的综合题.已知圆 与 相切，连结 ，则 ，再加上 ，可得 ，证得 ，问题就还原成题目1.问题(2)利用(1)结论，可建立一元二次方 程求出半径.
    应用2  如图5，直线 经过圆 上的点，并且 ， ，圆 交直线 于点 、 ，连结 ， .
    (1)猜想直线 与圆 的位置关系，并说明理由;
    (2)求证 ， ;
(3)若 ，圆 的半径为3，求  的面积.
 
    分析  这是一道涉及等腰三角形、直线与圆的位置关系、相似三角形、三角函数值等多个知识点的几何综合题.(1)利用等腰三角形的三线合一证得 ;(2)属于题目1的简单变形;(3)求 的面积，关键在于求 的长度，难点在于如何利用 这个条件.在 中 ， ，即 .观察发现，由 ，可得到 ，即 ;然后利用第(2)的结论，转化为方程求解问题，进而求出 、 的长，问题就迎刃而解了.
    基本图形3
    1.如图6，已知 ， ， 过点 ，且 ， ，垂足分别为 、 ，则 ， .
 
2. 如图7，已知 ， ，则 ， .
 
    应用  如图8，抛物线 ，点 在抛物线上，点 在直线 上， 能否成为以点 为直角顶点的等腰直角三角形?若 能，求出点 的坐标;若不能，请说明理由.
    分析  过点 作 轴， 直线 ，垂足分别为 ， ， .当 ， 时， 是以点 为直角顶点的等腰直角三角形.这是解决问题的突破口，通过构造“ ”型全等形，使得几何问题代数化.
    基本图形4
    如图9，已知，在 中， ，过点 作 ，点 作 ，则 ， .
 
    应用1如图10，在正方形 中，以对角线 为边作菱形  ，使得 ， ， 三点在同一条直线上，连结 交 于点 .求证: .
    分析  连结 交 于点 ，问题就还原成基本图形，证 即可.
    应用2   如图1l，已知在平行四边形 中， ， 于 ， 于 ， 、 交于 ， 、 的延长线交于 .有下列结论:
① ;② ;③ .其中正确的是        .
 
    分析  本题以全等三角形为载体，融入平行四边形、勾股定理等相关知识，注重对基础知识、基本技能的考查.
    ①②正确，由 及平行四边形的性质，得到 ， ，所以 .
③正确，
 
 
 .
    基本图形5
    如图12，在正方形 中，点 、 分别在 、 上， 、 交于点 .
    结论1  若 ，则 (或 或 ).
    结论2  若 (或 或 )，则 .
 
    应用  如图13所示，将图12中 、 平移至 、 ，上述 结论依然成立.
    老子在《道德经》里写道:“天下难事，必作于易;天下大 事，必作于细”.数学问题的解 决过程亦是如此，将 复杂问题简单化，一步步将未知问题转化到已知范围.在求解几何问题时，就是要通过观察、类比、联想，把复杂图形转化为简单的基本图形问题，就能容易获解.
版权声明：本文内容由互联网用户自发贡献，该文观点仅代表作者本人。本站仅提供信息存储空间服务，不拥有所有权，不承担相关法律责任。如发现本站有涉嫌抄袭侵权/违法违规的内容，请发送邮件至 lxy@jiyifa.cn 举报，一经查实，本站将立刻删除。