逍遥学能 2018-09-26 15:13
【导语】不去耕耘，不去播种，再肥的沃土也长不出庄稼，不去奋斗，不去创造，再美的青春也结不出硕果。不要让追求之舟停泊在幻想的港湾，而应扬起奋斗的风帆，驶向现实生活的大海。逍遥右脑为正在拼搏的你整理了《高一下学期期末数学试卷及答案》，希望对你有帮助！
【一】
一、选择题：（共15个小题，每小题4分，共60分.在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的）
1．已知全集U=R，A=，B=x，则A∪B=（）
A．?1≤x≤2B．?1≤x＜2C．x＜?1或x≥2D．0＜x＜2
2．已知，那么cosα=（）
A．B．C．D．
3．已知D为△ABC的边BC的中点，△ABC所在平面内有一个点P，满足=+，则的值为（）
A．B．C．1D．2
4．△ABC中，AB=2，AC=3，∠B=60°，则cosC=（）
A．B．C．D．
5．已知△ABC是边长为1的等边三角形，则（?2）•（3?4）=（）
A．?B．?C．?6?D．?6+
6．设等差数列an的前n项和为Sn，若S3=9，S6=36，则a7+a8+a9=（）
A．63B．45C．36D．27
7．已知角α是第二象限角，且|cos|=?cos，则角是（）
A．第一象限角B．第二象限角C．第三象限角D．第四象限角
8．已知某等差数列共有10项，其奇数项之和为15，偶数项之和为30，则其公差为（）
A．5B．4C．3D．2
9．对任意一个确定的二面角α?l?β，a和b是空间的两条异面直线，在下面给出的四个条件中，能使a和b所成的角也确定的是（）
A．a∥a且b∥βB．a∥a且b⊥βC．a⊆α且b⊥βD．a⊥α且b⊥β
10．定义2×2矩阵=a1a4?a2a3，若f（x）=，则f（x）的图象向右平移个单位得到函数g（x），则函数g（x）解析式为（）
A．g（x）=?2cos2xB．g（x）=?2sin2x
C．D．
11．已知一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（）
A．7B．7C．7D．8
12．若sin（π+α）=，α是第三象限的角，则=（）
A．B．C．2D．?2
13．已知，记数列an的前n项和为Sn，则使Sn＞0的n的最小值为（）
A．10B．11C．12D．13
14．（1+tan18°）（1+tan27°）的值是（）
A．B．
C．2D．2（tan18°+tan27°）
15．数列an满足：且an是递增数列，则实数a的范围是（）
A．B．C．（1，3）D．（2，3）
二、填空题（共5小题，每小题4分，共20分，将答案填在答题纸上）
16．已知向量=（k，12），=（4，5），=（?k，10），且A、B、C三点共线，则k=．
17．已知向量、满足||=1，||=1，与的夹角为60°，则|+2|=．
18．在△ABC中，BD为∠ABC的平分线，AB=3，BC=2，AC=，则sin∠ABD等于．
19．在四棱锥S?ABCD中，SA⊥面ABCD，若四边形ABCD为边长为2的正方形，SA=3，则此四棱锥外接球的表面积为．
20．设数列an的通项为an=2n?7（n∈N*），则|a1|+|a2|+…+|a15|=．
三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）
21．已知平面向量=（1，x），=（2x+3，?x）（x∈R）．
（1）若∥，求|?|
（2）若与夹角为锐角，求x的取值范围．
22．（文科）已知an是单调递增的等差数列，首项a1=3，前n项和为Sn，数列bn是等比数列，首项b1=1，且a2b2=12，S3+b2=20．
（Ⅰ）求an和bn的通项公式．
（Ⅱ）令Cn=nbn（n∈N+），求cn的前n项和Tn．
23．在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且2cos2cosB?sin（A?B）sinB+cos（A+C）=?．
（Ⅰ）求cosA的值；
（Ⅱ）若a=4，b=5，求向量在方向上的投影．
24．已知如图：四边形ABCD是矩形，BC⊥平面ABE，且AE=2，EB=BC=2，点F为CE上一点，且BF⊥平面ACE．
（1）求证：AE∥平面BFD；
（2）求三棱锥A?DBE的体积；
（3）求二面角D?BE?A的大小．
25．如图，函数f（x）=Asin（ωx+φ）（其中A＞0，ω＞0，|φ|≤）的图象与坐标轴的三个交点为P，Q，R，且P（1，0），Q（m，0）（m＞0），∠PQR=，M为QR的中点，|PM|=．
（Ⅰ）求m的值及f（x）的解析式；
（Ⅱ）设∠PRQ=θ，求tanθ．
26．设数列an的前n项和为Sn，a1=10，an+1=9Sn+10．
（Ⅰ）求证：lgan是等差数列；
（Ⅱ）设Tn是数列{}的前n项和，求Tn；
（Ⅲ）求使Tn＞（m2?5m）对所有的n∈N*恒成立的整数m的取值集合．
2018-2019学年河北省衡水市冀州中学高一（下）期末数学试卷（理科）
参考答案与试题解析
一、选择题：（共15个小题，每小题4分，共60分.在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的）
1．已知全集U=R，A=，B=lnx＜0，则A∪B=（）
A．?1≤x≤2B．?1≤x＜2C．xD．0＜x＜2
【考点】并集及其运算．
【分析】求出A与B中不等式的解集，分别确定出A与B，找出两集合的并集即可．
【解答】解：由A中不等式变形得：≤0，即（x+1）（x?2）＜0，且x?2≠0，
解得：?1≤x＜2，即A=?1≤x＜2，
由B中不等式变形得：lnx＜0=ln1，得到0＜x＜1，即B=0＜x＜1，
则A∪B=?1≤x＜2，
故选：B．
2．已知，那么cosα=（）
A．B．C．D．
【考点】诱导公式的作用．
【分析】已知等式中的角变形后，利用诱导公式化简，即可求出cosα的值．
【解答】解：sin（+α）=sin（2π++α）=sin（+α）=cosα=．
故选C．
3．已知D为△ABC的边BC的中点，△ABC所在平面内有一个点P，满足=+，则的值为（）
A．B．C．1D．2
【考点】平面向量的基本定理及其意义．
【分析】如图所示，由于=+，可得：PA是平行四边形PBAC的对角线，PA与BC的交点即为BC的中点D．即可得出．
【解答】解：如图所示，
∵=+，
∴PA是平行四边形PBAC的对角线，PA与BC的交点即为BC的中点D．∴=1．
故选：C．
4．△ABC中，AB=2，AC=3，∠B=60°，则cosC=（）
A．B．C．D．
【考点】正弦定理．
【分析】由已知及正弦定理可得sinC==，又AB＜AC，利用大边对大角可得C为锐角，根据同角三角函数基本关系式即可求得cosC得值．
【解答】解：∵AB=2，AC=3，∠B=60°，
∴由正弦定理可得：sinC===，
又∵AB＜AC，C为锐角，
∴cosC==．
故选：D．
5．已知△ABC是边长为1的等边三角形，则（?2）•（3?4）=（）
A．?B．?C．?6?D．?6+
【考点】平面向量数量积的运算．
【分析】将式子展开计算．
【解答】解：（?2）•（3?4）=3?4?6+8
=3×1×1×cos120°?4×1×1×cos60°?6×12+8×1×1×cos60°
=??2?6+4
=?．
故选：B．
6．设等差数列an的前n项和为Sn，若S3=9，S6=36，则a7+a8+a9=（）
A．63B．45C．36D．27
【考点】等差数列的性质．
【分析】观察下标间的关系，知应用等差数列的性质求得．
【解答】解：由等差数列性质知S3、S6?S3、S9?S6成等差数列，即9，27，S9?S6成等差，∴S9?S6=45
∴a7+a8+a9=45
故选B．
7．已知角α是第二象限角，且|cos|=?cos，则角是（）
A．第一象限角B．第二象限角C．第三象限角D．第四象限角
【考点】三角函数值的符号．
【分析】根据α的范围判断出的范围，再由含有绝对值的式子得到角的余弦值的符号，根据“一全正二正弦三正切四余弦”再进一步判断的范围．
【解答】解：由α是第二象限角知，是第一或第三象限角．
又∵|cos|=?cos，∴cos＜0，
∴是第三象限角．
故选C．
8．已知某等差数列共有10项，其奇数项之和为15，偶数项之和为30，则其公差为（）
A．5B．4C．3D．2
【考点】等差数列的通项公式．
【分析】写出数列的第一、三、五、七、九项的和即5a1+（2d+4d+6d+8d），写出数列的第二、四、六、八、十项的和即5a1+（d+3d+5d+7d+9d），都用首项和公差表示，两式相减，得到结果．
【解答】解：，
故选C．
9．对任意一个确定的二面角α?l?β，a和b是空间的两条异面直线，在下面给出的四个条件中，能使a和b所成的角也确定的是（）
A．a∥a且b∥βB．a∥a且b⊥βC．a⊆α且b⊥βD．a⊥α且b⊥β
【考点】异面直线及其所成的角．
【分析】作辅助线，利用二面角的定义和线线角的定义证明两角互补即可．
【解答】解：如图，若a⊥α且b⊥β，
过A分别作直线a、b的平行线，交两平面α、β分别为C、B
设平面ABC与棱l交点为O，连接BO、CO，
易知四边形ABOC为平面四边形，可得∠BOC与∠BAC互补
∵α?l?β是大小确定的一个二面角，而∠BOC就是它的平面角，
∴∠BOC是定值，∴∠BAC也是定值，
即a，b所成的角为定值．
故选D
10．定义2×2矩阵=a1a4?a2a3，若f（x）=，则f（x）的图象向右平移个单位得到函数g（x），则函数g（x）解析式为（）
A．g（x）=?2cos2xB．g（x）=?2sin2x
C．D．
【考点】函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换；三角函数中的恒等变换应用．
【分析】利用三角恒等变换化简函数f（x）的解析式，再利用函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换规律，求得函数g（x）解析式．
【解答】解：由题意可得f（x）==cos2x?sin2x?cos（+2x）
=cos2x+sin2x=2cos（2x?），
则f（x）的图象向右平移个单位得到函数g（x）=2cos[2（x?）?]=2cos（2x?π）=?2cos2x，
故选：A．
11．已知一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（）
A．7B．7C．7D．8
【考点】由三视图求面积、体积．
【分析】根据几何体的三视图知，该几何体是棱长为2的正方体，去掉两个三棱锥剩余的部分，结合图中数据即可求出它的体积．
【解答】解：根据几何体的三视图知，该几何体是棱长为2的正方体，去掉两个三棱锥剩余的部分，
如图所示；
所以该几何体的体积为
V=V正方体??
=23?××12×2?××1×2×2
=7．
故选：A．
12．若sin（π+α）=，α是第三象限的角，则=（）
A．B．C．2D．?2
【考点】运用诱导公式化简求值．
【分析】已知等式利用诱导公式化简求出sinα的值，根据α为第三象限角，利用同角三角函数间基本关系求出cosα的值，原式利用诱导公式化简，整理后将各自的值代入计算即可求出值．
【解答】解：∵sin（π+α）=?sinα=，即sinα=?，α是第三象限的角，
∴cosα=?，
则原式====?，
故选：B．
13．已知，记数列an的前n项和为Sn，则使Sn＞0的n的最小值为（）
A．10B．11C．12D．13
【考点】数列的求和．
【分析】由，可得a1+a10=a2+a9=…=a5+a6=0，a11＞0，则有S9＜0，S10=0，S11＞0可求
【解答】解：由，
可得a1+a10=a2+a9=…=a5+a6=0，a11＞0
∴S9＜0，S10=0，S11＞0
使Sn＞0的n的最小值为11
故选：B
14．（1+tan18°）（1+tan27°）的值是（）
A．B．
C．2D．2（tan18°+tan27°）
【考点】两角和与差的正切函数．
【分析】要求的式子即1+tan18°+tan27°+tan18°tan27°，再把tan18°+tan27°=tan45°（1?tan18°tan27°）代入，化简可得结果．
【解答】解：（1+tan18°）（1+tan27°）=1+tan18°+tan27°+tan18°tan27°=1+tan45°（1?tan18°tan27°）+tan18°tan27°=2，
故选C．
15．数列an满足：且an是递增数列，则实数a的范围是（）
A．B．C．（1，3）D．（2，3）
【考点】数列的函数特性；分段函数的解析式求法及其图象的作法；函数单调性的判断与证明．
【分析】根据题意，首先可得an通项公式，这是一个类似与分段函数的通项，结合分段函数的单调性的判断方法，可得；解可得答案．
【解答】解：根据题意，an=f（n）=；
要使an是递增数列，必有；
解可得，2＜a＜3；
故选D．
二、填空题（共5小题，每小题4分，共20分，将答案填在答题纸上）
16．已知向量=（k，12），=（4，5），=（?k，10），且A、B、C三点共线，则k=．
【考点】平面向量共线（平行）的坐标表示；三点共线．
【分析】利用三点共线得到以三点中的一点为起点，另两点为终点的两个向量平行，利用向量平行的坐标形式的充要条件列出方程求出k．
【解答】解：向量，
∴
又A、B、C三点共线
故（4?k，?7）=λ（?2k，?2）
∴k=
故答案为
17．已知向量、满足||=1，||=1，与的夹角为60°，则|+2|=．
【考点】平面向量数量积的运算．
【分析】根据条件进行数量积的计算便可得出，从而便可求出，这样即可求出的值．
【解答】解：根据条件，；
∴；
∴．
故答案为：．
18．在△ABC中，BD为∠ABC的平分线，AB=3，BC=2，AC=，则sin∠ABD等于．
【考点】正弦定理．
【分析】利用余弦定理求得cos∠ABC=cos2θ的值，可得θ的值．
【解答】解：∵△ABC中，BD为∠ABC的平分线，AB=3，BC=2，AC=，
设∠ABD=θ，则∠ABC=2θ，
由余弦定理可得cos2θ===，
∴2θ=，∴θ=，
故答案为：．
19．在四棱锥S?ABCD中，SA⊥面ABCD，若四边形ABCD为边长为2的正方形，SA=3，则此四棱锥外接球的表面积为17π．
【考点】球内接多面体．
【分析】如图所示，连接AC，BD相交于点O1．取SC的中点，连接OO1．利用三角形的中位线定理可得OO1∥SA．由于SA⊥底面ABCD，可得OO1⊥底面ABCD．可得点O是四棱锥S?ABCD外接球的球心，SC是外接球的直径．
【解答】解：如图所示
连接AC，BD相交于点O1．取SC的中点，连接OO1．
则OO1∥SA．
∵SA⊥底面ABCD，
∴OO1⊥底面ABCD．
可得点O是四棱锥S?ABCD外接球的球心．
因此SC是外接球的直径．
∵SC2=SA2+AC2=9+8=17，∴4R2=17，
∴四棱锥P?ABCD外接球的表面积为4πR2=π•17=17π．
故答案为：17π
20．设数列an的通项为an=2n?7（n∈N*），则|a1|+|a2|+…+|a15|=153．
【考点】等差数列的前n项和．
【分析】先根据数列的通项公式大于等于0列出关于n的不等式，求出不等式的解集即可得到数列的前三项为负数，利用负数的绝对值等于它的相反数，求出前三项的绝对值，正数的绝对值等于本身把第四项及后面的各项化简，然后利用等差数列的前n项和的公式即可求出所求式子的值．
【解答】解：由an=2n?7≥0，解得n≥，所以数列的前3项为负数，
则|a1|+|a2|+…+|a15|
=5+3+1+1+3+5+…+23
=9+12×1+×2
=153．
故答案为：153
三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）
21．已知平面向量=（1，x），=（2x+3，?x）（x∈R）．
（1）若∥，求|?|
（2）若与夹角为锐角，求x的取值范围．
【考点】平面向量数量积的运算；平面向量共线（平行）的坐标表示．
【分析】（1）根据向量平行与坐标的关系列方程解出x，得出的坐标，再计算的坐标，再计算||；
（2）令得出x的范围，再去掉同向的情况即可．
【解答】解：（1）∵，∴?x?x（2x+3）=0，解得x=0或x=?2．
当x=0时，=（1，0），=（3，0），∴=（?2，0），∴||=2．
当x=?2时，=（1，?2），=（?1，2），∴=（2，?4），∴||=2．
综上，||=2或2．
（2）∵与夹角为锐角，∴，
∴2x+3?x2＞0，解得?1＜x＜3．
又当x=0时，，
∴x的取值范围是（?1，0）∪（0，3）．
22．（文科）已知an是单调递增的等差数列，首项a1=3，前n项和为Sn，数列bn是等比数列，首项b1=1，且a2b2=12，S3+b2=20．
（Ⅰ）求an和bn的通项公式．
（Ⅱ）令Cn=nbn（n∈N+），求cn的前n项和Tn．
【考点】等差数列与等比数列的综合；数列的求和．
【分析】（Ⅰ）设公差为d，公比为q，则a2b2=（3+d）q=12①，S3+b2=3a2+b2=3（3+d）+q=20②
联立①②结合d＞0可求d，q，利用等差数列，等比数列的通项公式可求an，bn
（Ⅱ）由（I）可得，bn=2n?1，cn=n•2n?1，考虑利用错位相减求解数列的和即可
【解答】解：（Ⅰ）设公差为d，公比为q，
则a2b2=（3+d）q=12①
S3+b2=3a2+b2=3（3+d）+q=20②
联立①②可得，（3d+7）（d?3）=0
∵an是单调递增的等差数列，d＞0．
则d=3，q=2，
∴an=3+（n?1）×3=3n，bn=2n?1…
（Ⅱ）bn=2n?1，cn=n•2n?1，
∴Tn=c1+c2+…+cnTn=1•20+2•21+3•22+…+n•2n?12Tn=1•21+2•22+…+（n?1）•2n?1+n•2n…
两式相减可得，?Tn=1•20+1•21+1•22+…+1•2n?1?n•2n∴?Tn==2n?1?n•2n
∴Tn=（n?1）•2n+1…
23．在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且2cos2cosB?sin（A?B）sinB+cos（A+C）=?．
（Ⅰ）求cosA的值；
（Ⅱ）若a=4，b=5，求向量在方向上的投影．
【考点】两角和与差的余弦函数；向量数乘的运算及其几何意义；二倍角的正弦；二倍角的余弦；余弦定理．
【分析】（Ⅰ）由已知条件利用三角形的内角和以及两角差的余弦函数，求出A的余弦值，然后求sinA的值；
（Ⅱ）利用，b=5，结合正弦定理，求出B的正弦函数，求出B的值，利用余弦定理求出c的大小．
【解答】解：（Ⅰ）由
可得，
可得，
即，
即，
（Ⅱ）由正弦定理，，所以=，
由题意可知a＞b，即A＞B，所以B=，
由余弦定理可知．
解得c=1，c=?7（舍去）．
向量在方向上的投影：=ccosB=．
24．已知如图：四边形ABCD是矩形，BC⊥平面ABE，且AE=2，EB=BC=2，点F为CE上一点，且BF⊥平面ACE．
（1）求证：AE∥平面BFD；
（2）求三棱锥A?DBE的体积；
（3）求二面角D?BE?A的大小．
【考点】二面角的平面角及求法；棱柱、棱锥、棱台的体积；直线与平面平行的判定．
【分析】（1）连接AC交BD于G，连结GF，则G为AC的中点，推导出BF⊥CE，FG为△ACE的中位线，由此能证明AE∥平面BFD．
（2）推导出BF⊥AE，BC⊥AE，AD⊥平面ABE，从而AE⊥BE，由VA?DBE=VD?ABE，能求出三棱锥A?DBE的体积．
（3）由AE⊥BE，AD⊥BE，得到∠DEA是二面角D?BE?A的平面角，由此能求出二面角D?BE?A的大小．
【解答】证明：（1）连接AC交BD于G，连结GF，
∵ABCD是矩形，∴G为AC的中点，…1分
由BF⊥平面ACE得：BF⊥CE，
由EB=BC知：点F为CE中点，…2分
∴FG为△ACE的中位线，
∴FG∥AE，…3分
∵AE⊄平面BFD，FG⊂平面BFD，
∴AE∥平面BFD．…4分
解：（2）由BF⊥平面ACE得：BF⊥AE，
由BC⊥平面ABE及BC∥AD，得：BC⊥AE，AD⊥平面ABE，
∵BC∩BF=F，∴AE⊥平面BCE，则AE⊥BE，…6分
∴VA?DBE=VD?ABE=，
即三棱锥A?DBE的体积为．…8分
（3）由（2）知：AE⊥BE，AD⊥BE，
∴BE⊥平面ADE，则BE⊥DE，
∴∠DEA是二面角D?BE?A的平面角，…10分
在Rt△ADE中，DE==4，
∴AD=DE，则∠DEA=30°，
∴二面角D?BE?A的大小为30°．…12分．
25．如图，函数f（x）=Asin（ωx+φ）（其中A＞0，ω＞0，|φ|≤）的图象与坐标轴的三个交点为P，Q，R，且P（1，0），Q（m，0）（m＞0），∠PQR=，M为QR的中点，|PM|=．
（Ⅰ）求m的值及f（x）的解析式；
（Ⅱ）设∠PRQ=θ，求tanθ．
【考点】由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式；同角三角函数间的基本关系．
【分析】（Ⅰ）由已知可得=，从而解得m的值，由图象可求T，由周期公式可求ω，把p（1，0）代入f（x），结合|φ|≤，即可求得φ的值，把R（0，?4）代入f（x）=Asin（x?），即可解得A的值，从而可求f（x）的解析式．
（Ⅱ）由∠ORP=?θ，tan∠ORP=，根据tan（?θ）=即可解得tanθ的值．
【解答】解：（Ⅰ）∵∠PQR=，∴OQ=OR，∵Q（m，0），∴R（0，?m），…
又M为QR的中点，∴M（，?），又|PM|=，
=，m2?2m?8=0，m=4，m=?2（舍去），…
∴R（0，4），Q（4，0），=3，T=6，=6，，…
把p（1，0）代入f（x）=Asin（x+φ），Asin（+φ）=0，
∵|φ|≤，∴φ=?．…
把R（0，?4）代入f（x）=Asin（x?），Asin（?）=?4，A=．…
f（x）的解析式为f（x）=sin（x?）．
所以m的值为4，f（x）的解析式为f（x）=sin（x?）．…
（Ⅱ）在△OPR中，∠ORP=?θ，tan∠ORP=，
∴tan（?θ）=，…
∴=，解得tanθ=．…
26．设数列an的前n项和为Sn，a1=10，an+1=9Sn+10．
（Ⅰ）求证：lgan是等差数列；
（Ⅱ）设Tn是数列{}的前n项和，求Tn；
（Ⅲ）求使Tn＞（m2?5m）对所有的n∈N*恒成立的整数m的取值集合．
【考点】数列的求和；等差关系的确定．
【分析】（I）根据等差数列的定义即可证明lgan是等差数列；
（Ⅱ）求出{}的通项公式，利用裂项法即可求Tn；
（Ⅲ）直接解不等式即可得到结论．
【解答】解：（I）∵a1=10，an+1=9Sn+10．
∴当n=1时，a2=9a1+10=100，
故，
当n≥1时，an+1=9Sn+10①，
an+2=9Sn+1+10②，
两式相减得an+2?an+1=9an+1，
即an+2=10an+1，
即，
即an是首项a1=10，公比q=10的等比数列，
则数列an的通项公式；
则lgan=lg10n=n，
则lgan?lgan?1=n?（n?1）=1，为常数，
即lgan是等差数列；
（Ⅱ）∵lgan=n，则=（?），
则Tn=3（1?+…+?）=3（1?）=3?，
（Ⅲ）∵Tn=3?≥T1=，
∴要使Tn＞（m2?5m）对所有的n∈N*恒成立，
则＞（m2?5m）对所有的n∈N*恒成立，
解得?1＜m＜6，
故整数m的取值集合0，1，2，3，4，5．
【二】
一、选择题（共12小题，每小题5分，满分60分）
1．点P从（?1，0）出发，沿单位圆x2+y2=1顺时针方向运动π弧长到达Q，则Q点坐标（）
A．（?，）B．（?，?）C．（?，?）D．（?，）
2．从一箱产品中随机地抽取一件，设事件A=抽到一等品，事件B=抽到二等品，事件C=抽到三等品，且已知P（A）=0.65，P（B）=0.2，P（C）=0.1．则事件“抽到的不是一等品”的概率为（）
A．0.7B．0.65C．0.35D．0.3
3．已知，为单位向量，其夹角为60°，则（2?）•=（）
A．?1B．0C．1D．2
4．sin（?15°）=（）
A．B．C．D．
5．已知向量=（?2，1），=（3，0），则在方向上的正射影的数量为（）
A．?B．C．?2D．2
6．在△ABC中，a=1，b=x，∠A=30°，则使△ABC有两解的x的范围是（）
A．B．（1，+∞）C．D．（1，2）
7．如图的程序框图，如果输入三个实数a，b，c，要求输出这三个数中最大的数，那么在空白的判断框中，应该填入下面四个选项中的（）
A．c＞xB．x＞aC．c＞bD．b＞c
8．△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c若＜cosA，则△ABC为（）
A．钝角三角形B．直角三角形C．锐角三角形D．等边三角形
9．设D、E、F分别是△ABC的三边BC、CA、AB上的点，且，，，则与（）
A．反向平行B．同向平行
C．互相垂直D．既不平行也不垂直
10．设函数，且其图象关于直线x=0对称，则（）
A．y=f（x）的最小正周期为π，且在上为增函数
B．y=f（x）的最小正周期为π，且在上为减函数
C．y=f（x）的最小正周期为，且在上为增函数
D．y=f（x）的最小正周期为，且在上为减函数
11．设O点在△ABC内部，且有，则△ABC的面积与△AOC的面积的比为（）
A．2B．C．3D．
12．已知在等边△ABC中，AB=3，O为中心，过O的直线与△ABC的边分别交于点M、N，则+的最大值是（）
A．B．2C．D．
二、填空题（共4小题，每小题5分，满分20分）
13．高一某班有学生56人，现将所有同学随机编号，用系统抽样的方法抽取一个容量为8的样本，则需要将全班同学分成组．
14．已知tanα=2，tanβ=3，且α、β都是锐角，则tan=．
15．有一解三角形的题目因纸张破损，有一条件不清，具体如下：在△ABC中，已知a=，2cos2=（?1）cosB，c=，求角A，若该题的答案是A=60°，请将条件补充完整．
16．在△ABC中，∠ACB为钝角，AC=BC=1，且x+y=1，函数的最小值为，则的最小值为．
三、解答题（共6小题，满分70分）
17．已知函数f（x）=Asin（x+φ）（A＞0，0＜φ＜π），x∈R的最大值是1，其图象经过点．
（1）求f（x）的解析式；
（2）已知，且，，求f（α?β）的值．
18．在锐角△ABC中，a、b、c分别为角A、B、C所对的边，且=2csinA
（1）确定角C的大小；
（2）若c=，且△ABC的面积为，求a+b的值．
19．如图，已知=（2，1），=（1，7），=（5，1），设Z是直线OP上的一动点．
（1）求使•取最小值时的；
（2）对（1）中求出的点Z，求cos∠AZB的值．
20．学校从参加高一年级期中考试的学生中抽出50名学生，并统计了他们的数学成绩（成绩均为整数且满分为150分），数学成绩分组及各组频数如下：
[60，75），2；[75，90），3；[90，105），14；[105，120），15；[120，135），12；[135，150]，4．
（1）在给出的样本频率分布表中，求A，B，C，D的值；
（2）估计成绩在120分以上（含120分）学生的比例；
（3）为了帮助成绩差的学生提高数学成绩，学校决定成立“二帮一”小组，即从成绩在[135，150]的学生中选两位同学，共同帮助成绩在[60，75）中的某一位同学．已知甲同学的成绩为62分，乙同学的成绩为140分，求甲、乙两同学恰好被安排在同一小组的概率．
样本频率分布表：
分组频数频率
[60，75）20.04
[75，90）30.06
[90，105）140.28
[105，120）150.30
[120，135）AB
[135，150]40.08
合计CD
21．某休闲农庄有一块长方形鱼塘ABCD，AB=50米，BC=25米，为了便于游客休闲散步，该农庄决定在鱼塘内建三条如图所示的观光走廊OE、EF和OF，考虑到整体规划，要求O是AB的中点，点E在边BC上，点F在边AD上，且∠EOF=90°．
（1）设∠BOE=α，试将△OEF的周长l表示成α的函数关系式，并求出此函数的定义域；
（2）经核算，三条走廊每米建设费用均为4000元，试问如何设计才能使建设总费用最低并求出最低总费用．
22．在平面直角坐标系中，O为坐标原点，已知向量=（?1，2），又点A（8，0），B（n，t），C（ksinθ，t）．（1）若⊥，且||=||，求向量；
（2）若向量与向量共线，常数k＞0，求f（θ）=tsinθ的值域；
（3）当（2）问中f（θ）的最大值4时，求•．
参考答案与试题解析
一、选择题（共12小题，每小题5分，满分60分）
1．点P从（?1，0）出发，沿单位圆x2+y2=1顺时针方向运动π弧长到达Q，则Q点坐标（）
A．（?，）B．（?，?）C．（?，?）D．（?，）
【考点】弧长公式．
【分析】画出图形，结合图形，求出∠xOQ的大小，即得Q点的坐标．
【解答】解：如图所示，；
点P从（?1，0）出发，沿单位圆x2+y2=1顺时针方向运动π弧长到达Q，
则∠POQ=?2π=，
∴∠xOQ=，
∴cos=?，sin=，
∴Q点的坐标为（?，）；
故选：A．
2．从一箱产品中随机地抽取一件，设事件A=抽到一等品，事件B=抽到二等品，事件C=抽到三等品，且已知P（A）=0.65，P（B）=0.2，P（C）=0.1．则事件“抽到的不是一等品”的概率为（）
A．0.7B．0.65C．0.35D．0.3
【考点】互斥事件的概率加法公式．
【分析】根据对立事件的概率和为1，结合题意，即可求出结果来．
【解答】解：根据对立事件的概率和为1，得；
∵事件A=抽到一等品，且P（A）=0.65，
∴事件“抽到的不是一等品”的概率为
P=1?P（A）=1?0.65=0.35．
故选：C．
3．已知，为单位向量，其夹角为60°，则（2?）•=（）
A．?1B．0C．1D．2
【考点】平面向量数量积的运算．
【分析】由条件利用两个向量的数量积的定义，求得、的值，可得（2?）•的值．
【解答】解：由题意可得，=1×1×cos60°=，=1，
∴（2?）•=2?=0，
故选：B．
4．sin（?15°）=（）
A．B．C．D．
【考点】三角函数的化简求值；运用诱导公式化简求值．
【分析】利用两角差的正弦公式，结合特殊角的三角函数，即可得出答案．
【解答】解：sin（?15°）=sin（30°?45°）
=sin30°cos45°?cos30°sin45°
=×?×
=．
故选：D．
5．已知向量=（?2，1），=（3，0），则在方向上的正射影的数量为（）
A．?B．C．?2D．2
【考点】平面向量数量积的运算．
【分析】根据向量数量积的关系进行化简，结合向量投影的定义进行求解即可．
【解答】解：∵向量=（?2，1），=（3，0），
∴在方向上的正射影为||cos＜，＞===?2，
故选：C
6．在△ABC中，a=1，b=x，∠A=30°，则使△ABC有两解的x的范围是（）
A．B．（1，+∞）C．D．（1，2）
【考点】正弦定理．
【分析】根据题意画出图形，由题意得到三角形有两解的条件为b=x＞a，bsinA＜a，即可确定出x的范围．
【解答】解：结合图形可知，三角形有两解的条件为b=x＞a，bsinA＜a，
∴b=x＞1，xsin30°＜1，
则使△ABC有两解的x的范围是1＜x＜2，
故选：D．
7．如图的程序框图，如果输入三个实数a，b，c，要求输出这三个数中最大的数，那么在空白的判断框中，应该填入下面四个选项中的（）
A．c＞xB．x＞aC．c＞bD．b＞c
【考点】程序框图．
【分析】根据流程图所示的顺序，逐框分析程序中各变量、各语句的作用，由于该题的目的是选择最大数，因此根据第一个选择框作用是比较x与b的大小，故第二个选择框的作用应该是比较x与c的大小，而且条件成立时，保存最大值的变量X=C．
【解答】解：由流程图可知：
第一个选择框作用是比较x与b的大小，
故第二个选择框的作用应该是比较x与c的大小，
∵条件成立时，保存最大值的变量X=C
故选A．
8．△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c若＜cosA，则△ABC为（）
A．钝角三角形B．直角三角形C．锐角三角形D．等边三角形
【考点】三角形的形状判断．
【分析】由已知结合正弦定理可得sinC＜sinBcosA利用三角形的内角和及诱导公式可得，sin（A+B）＜sinBcosA整理可得sinAcosB+sinBcosA＜0从而有sinAcosB＜0结合三角形的性质可求
【解答】解：∵＜cosA，
由正弦定理可得，sinC＜sinBcosA
∴sin（A+B）＜sinBcosA
∴sinAcosB+sinBcosA＜sinBcosA
∴sinAcosB＜0又sinA＞0
∴cosB＜0即B为钝角
故选：A
9．设D、E、F分别是△ABC的三边BC、CA、AB上的点，且，，，则与（）
A．反向平行B．同向平行
C．互相垂直D．既不平行也不垂直
【考点】平行向量与共线向量．
【分析】根据向量的定必分点性质可分别表示出，，，
然后三者相加即可得到答案．
【解答】解：由定比分点的向量式得：，，，
以上三式相加得，
故选A
10．设函数，且其图象关于直线x=0对称，则（）
A．y=f（x）的最小正周期为π，且在上为增函数
B．y=f（x）的最小正周期为π，且在上为减函数
C．y=f（x）的最小正周期为，且在上为增函数
D．y=f（x）的最小正周期为，且在上为减函数
【考点】两角和与差的正弦函数．
【分析】将函数解析式提取2，利用两角和与差的余弦函数公式及特殊角的三角函数值化为一个角的余弦函数，找出ω的值，代入周期公式，求出函数的最小正周期，再由函数图象关于直线x=0对称，将x=0代入函数解析式中的角度中，并令结果等于kπ（k∈Z），再由φ的范围，求出φ的度数，代入确定出函数解析式，利用余弦函数的单调递减区间确定出函数的得到递减区间为[kπ，kπ+]（k∈Z），可得出（0，）⊂[kπ，kπ+]（k∈Z），即可得到函数在（0，）上为减函数，进而得到正确的选项．
【解答】解：f（x）=cos（2x+φ）+sin（2x+φ）
=2[cos（2x+φ）+sin（2x+φ）]
=2cos（2x+φ?），
∵ω=2，
∴T==π，
又函数图象关于直线x=0对称，
∴φ?=kπ（k∈Z），即φ=kπ+（k∈Z），
又|φ|＜，
∴φ=，
∴f（x）=2cos2x，
令2kπ≤2x≤2kπ+π（k∈Z），解得：kπ≤x≤kπ+（k∈Z），
∴函数的递减区间为[kπ，kπ+]（k∈Z），
又（0，）⊂[kπ，kπ+]（k∈Z），
∴函数在（0，）上为减函数，
则y=f（x）的最小正周期为π，且在（0，）上为减函数．
故选B
11．设O点在△ABC内部，且有，则△ABC的面积与△AOC的面积的比为（）
A．2B．C．3D．
【考点】向量在几何中的应用．
【分析】根据，变形得∴，利用向量加法的平行四边形法则可得2=?4，从而确定点O的位置，进而求得△ABC的面积与△AOC的面积的比．
【解答】解：分别取AC、BC的中点D、E，
∵，
∴，即2=?4，
∴O是DE的一个三等分点，
∴=3，
故选C．
12．已知在等边△ABC中，AB=3，O为中心，过O的直线与△ABC的边分别交于点M、N，则+的最大值是（）
A．B．2C．D．
【考点】解三角形的实际应用．
【分析】如图所示，设∠AOM=θ．由点O是正△ABC的中心，AC=3．可得AD?AC•sin60°，AO=AD．在△AMO中，由正弦定理可得：OM==，同理在△ANO中，可得：ON=．代入即可得出．
【解答】解：如图所示，设∠AOM=θ．
∵点O是正△ABC的中心，AC=3．
∴AD?AC•sin60°=，AO=AD=．
在△AMO中，由正弦定理可得：=，
∴OM==，
同理在△ANO中，由正弦定理可得：ON=．
∴=+==2sinθ．
∵，由过O的直线交AB于M，交AC于N，
可得，
因此当时，取得最大值2．
故选：B．
二、填空题（共4小题，每小题5分，满分20分）
13．高一某班有学生56人，现将所有同学随机编号，用系统抽样的方法抽取一个容量为8的样本，则需要将全班同学分成8组．
【考点】系统抽样方法．
【分析】根据系统抽样进行求解即可．
【解答】解：高一某班有学生56人，系统抽样的方法抽取一个容量为8的样本，
则56÷8=7，
即样本间隔为7，每7人一组，共需要分成8组，
故答案为：8
14．已知tanα=2，tanβ=3，且α、β都是锐角，则tan=1+．
【考点】两角和与差的正切函数；半角的三角函数．
【分析】先利用正切的两角和公式求得tan（α+β）的值，进而求得α+β，的值，利用二倍角的正切函数公式即可计算得解．
【解答】解：tan（α+β）===?1，
∵α、β都是锐角，
∴α+β=，可得：=，tan＞0，
∵tan（α+β）=?1=，整理可得：tan2?2tan?1=0，
∴解得：tan=1+，或1?（舍去）．
故答案为：1+．
15．有一解三角形的题目因纸张破损，有一条件不清，具体如下：在△ABC中，已知a=，2cos2=（?1）cosB，c=，求角A，若该题的答案是A=60°，请将条件补充完整．
【考点】余弦定理．
【分析】利用诱导公式、二倍角公式求得B，再利用两角和的正弦公式求得sin75°的值，再利用正弦定理求得c的值．
【解答】解：在△ABC中，∵已知a=，2cos2=（?1）cosB，
∴1+cos（A+C）=（?1）cosB，
即1?cosB=（?1）cosB，∴cosB=，∴B=．
若A=60°，则C=180°?A?B=75°，sin75°=sin（45°+30°）=sin45°cos30°+cos45°sin30°=，
则由正弦定理可得=，求得c=，
故答案为：．
16．在△ABC中，∠ACB为钝角，AC=BC=1，且x+y=1，函数的最小值为，则的最小值为．
【考点】向量加减混合运算及其几何意义．
【分析】在△ABC中，∠ACB为钝角，AC=BC=1，函数f（m）的最小值为．利用数量积的性质可得∠ACB，进而再利用数量积的性质和二次函数的单调性即可得出．
【解答】解：在△ABC中，∠ACB为钝角，AC=BC=1，函数f（m）的最小值为．
∴函数==，
化为4m2?8mcos∠ACB+1≥0恒成立．
当且仅当m==cos∠ACB时等号成立，代入得到，∴．
∴===x2+（1?x）2?x（1?x）=，
当且仅当x==y时，取得最小值，
∴的最小值为．
故答案为：．
三、解答题（共6小题，满分70分）
17．已知函数f（x）=Asin（x+φ）（A＞0，0＜φ＜π），x∈R的最大值是1，其图象经过点．
（1）求f（x）的解析式；
（2）已知，且，，求f（α?β）的值．
【考点】由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式；两角和与差的余弦函数．
【分析】（1）根据题意求出A，图象经过点，代入方程求出φ，然后求f（x）的解析式；
（2），且，，求出，然后求出sinα，sinβ，利用两角差的余弦函数求f（α?β）的值．
【解答】解：（1）依题意有A=1，则f（x）=sin（x+φ），将点代入得，而0＜φ＜π，∴，∴，故．
（2）依题意有，而，∴，．
18．在锐角△ABC中，a、b、c分别为角A、B、C所对的边，且=2csinA
（1）确定角C的大小；
（2）若c=，且△ABC的面积为，求a+b的值．
【考点】解三角形．
【分析】（1）利用正弦定理把已知条件转化成角的正弦，整理可求得sinC，进而求得C．
（2）利用三角形面积求得ab的值，利用余弦定理求得a2+b2的值，最后求得a+b的值．
【解答】解：（1）∵=2csinA
∴正弦定理得，
∵A锐角，
∴sinA＞0，
∴，
又∵C锐角，
∴
（2）三角形ABC中，由余弦定理得c2=a2+b2?2abcosC
即7=a2+b2?ab，
又由△ABC的面积得．
即ab=6，
∴（a+b）2=a2+b2+2ab=25
由于a+b为正，所以a+b=5．
19．如图，已知=（2，1），=（1，7），=（5，1），设Z是直线OP上的一动点．
（1）求使•取最小值时的；
（2）对（1）中求出的点Z，求cos∠AZB的值．
【考点】平面向量的综合题．
【分析】（1）运用向量共线的坐标表示，求得向量ZA，ZB的坐标，由数量积的标准表示，结合二次函数的最值求法，可得最小值，及向量OZ；
（2）求得t=2的向量ZA，ZB，以及模的大小，由向量的夹角公式，计算即可得到．
【解答】解：（1）∵Z是直线OP上的一点，
∴∥，
设实数t，使=t，
∴=t（2，1）=（2t，t），
则=?=（1，7）?（2t，t）=（1?2t，7?t），
=?=（5，1）?（2t，t）=（5?2t，1?t）．
∴•=（1?2t）（5?2t）+（7?t）（1?t）
=5t2?20t+12=5（t?2）2?8．
当t=2时，•有最小值?8，
此时=（2t，t）=（4，2）．
（2）当t=2时，=（1?2t，7?t）=（?3，5），||=，
=（5?2t，1?t）=（1，?1），||=．
故cos∠AZB?=
=?=?．
20．学校从参加高一年级期中考试的学生中抽出50名学生，并统计了他们的数学成绩（成绩均为整数且满分为150分），数学成绩分组及各组频数如下：
[60，75），2；[75，90），3；[90，105），14；[105，120），15；[120，135），12；[135，150]，4．
（1）在给出的样本频率分布表中，求A，B，C，D的值；
（2）估计成绩在120分以上（含120分）学生的比例；
（3）为了帮助成绩差的学生提高数学成绩，学校决定成立“二帮一”小组，即从成绩在[135，150]的学生中选两位同学，共同帮助成绩在[60，75）中的某一位同学．已知甲同学的成绩为62分，乙同学的成绩为140分，求甲、乙两同学恰好被安排在同一小组的概率．
样本频率分布表：
分组频数频率
[60，75）20.04
[75，90）30.06
[90，105）140.28
[105，120）150.30
[120，135）AB
[135，150]40.08
合计CD
【考点】列举法计算基本事件数及事件发生的概率；频率分布直方图．
【分析】（1）由样本频率分布表，能求出A，B，C，D的值．
（2）由频率分布表能估计成绩在120分以上（含120分）的学生比例．
（3）成绩在[60，75）内有2人，记为甲、A，成绩在[135，150]内有4人，记为乙，B，C，D，由此利用列举法能求出甲、乙同学恰好被安排在同一小组的概率．
【解答】解：（1）由样本频率分布表，得：
C=50，A=50?2?3?14?15?4=12，B==0.24，D=1．
（2）估计成绩在120分以上（含120分）的学生比例为：0.24+0.08=0.32．
（3）成绩在[60，75）内有2人，记为甲、A，
成绩在[135，150]内有4人，记为乙，B，C，D，
则“二帮一”小组有以下12种分组办法：
甲乙B，甲乙C，甲乙D，甲BC，甲BD，甲CD，A乙B，A乙C，A乙D，ABC，ABD，ACD，
其中甲、乙两同学被分在同一小组有3种办法：甲乙B，甲乙C，甲乙D，
∴甲、乙同学恰好被安排在同一小组的概率为：p=．
21．某休闲农庄有一块长方形鱼塘ABCD，AB=50米，BC=25米，为了便于游客休闲散步，该农庄决定在鱼塘内建三条如图所示的观光走廊OE、EF和OF，考虑到整体规划，要求O是AB的中点，点E在边BC上，点F在边AD上，且∠EOF=90°．
（1）设∠BOE=α，试将△OEF的周长l表示成α的函数关系式，并求出此函数的定义域；
（2）经核算，三条走廊每米建设费用均为4000元，试问如何设计才能使建设总费用最低并求出最低总费用．
【考点】函数模型的选择与应用；函数解析式的求解及常用方法．
【分析】（1）要将△OEF的周长l表示成α的函数关系式，需把△OEF的三边分别用含有α的关系式来表示，而OE，
OF，分别可以在Rt△OBE，Rt△OAF中求解，利用勾股定理可求EF，从而可求．
（2）要求铺路总费用最低，只要求△OEF的周长l的最小值即可．由（1）得l=，α∈[，]，
利用换元，设sinα+cosα=t，则sinαcosα=，从而转化为求函数在闭区间上的最小值．
【解答】解：（1）∵在Rt△BOE中，OB=25，∠B=90°，∠BOE=α，
∴OE=
在Rt△AOF中，OA=25，∠A=90°，∠AFO=α，
∴OF=．
又∠EOF=90°，
∴EF==，
∴l=OE+OF+EF=．
当点F在点D时，这时角α最小，此时α=；
当点E在C点时，这时角α最大，求得此时α=．
故此函数的定义域为[，]；
（2）由题意知，要求铺路总费用最低，只要求△OEF的周长l的最小值即可．
由（1）得，l=，α∈[，]，
设sinα+cosα=t，则sinαcosα=，
∴l==
由t=sinα+cosα=sin（α+），
又≤α+≤，得，
∴，
从而当α=，即BE=25时，lmin=50（+1），
所以当BE=AF=25米时，铺路总费用最低，最低总费用为200000（+1）元．
22．在平面直角坐标系中，O为坐标原点，已知向量=（?1，2），又点A（8，0），B（n，t），C（ksinθ，t）．（1）若⊥，且||=||，求向量；
（2）若向量与向量共线，常数k＞0，求f（θ）=tsinθ的值域；
（3）当（2）问中f（θ）的最大值4时，求•．
【考点】平面向量数量积的运算．
【分析】（1）利用向量垂直的坐标表示及向量模的坐标表示，列出关于n，t的方程组，并解即可．
（2）向量与向量共线，得出f（θ）=tsinθ=（?2ksinθ+16）sinθ，利用配方法结合一元二次函数的最值性质进行求解．
（3）根据（2）问中f（θ）的最大值4时，建立方程关系求出k或θ，求即可．
【解答】解：（1），∵，
∴8?n+2t=0
又，∴（n?8）2+t2=5×64得t=±8，
∴或（?8，?8）
（2），
∵向量与向量共线，
∴t=?2ksinθ+16，f（θ）=tsinθ=（?2ksinθ+16）sinθ=
①，∴时，f（θ）=tsinθ取最大值为，
sinθ=?1时，f（θ）取得最小值为?2k?16，
此时函数的值域为[?2k?16，]
②，
∴sinθ=1时，tsinθ取最大值为?2k+16，
sinθ=?1时，f（θ）取得最小值为?2k?16，
此时函数的值域为[?2k?16，?2k+16]．
（3）①当k＞4时，由=4，得k=8，此时，，
∴
②当0＜k＜4时，由?2k+16=4，得k=6，（舍去）