河北省石家庄市重点中学2012-2013学年高一下学期期末考试数学试

试卷Ⅰ一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．每小题选出答案后，请填涂在答题卡上．1．集合，，则　　DA．　B．　C．　D．2．设，则　　　CA．　　B．　　C．　　D．　　3．若，，则下列不等式正确的是　　DA．　B．　Ｃ．　D．4．在等差数列中，，则前项之和等于 (A)Ａ．　　Ｂ．　　Ｃ．　　Ｄ．5．已知倾斜角为的直线与直线平行，则（　B　）A．　　B．　　C．　　D．6．设是两条不同的直线，是两个不同的平面，有下列命题：①，则；②则；③，则；④，则．其中正确的命题的个数是　AA．1　　B．2　　C．3　　D．47．某公司一年共购买某种货物吨，每次都购买吨，运费为每次4万元，一年的总存储费用为万元，要使一年的总运费与总存储费用之和最小，则每次都购买　CA．吨　　B．吨　　C．吨　　D．吨8．一个几何体的三视图如图所示,其中俯视图与左视图均为半径是的圆，则这个几何体的表面积是（　　）A．　B．　C．　D．【答案】A 由三视图可知,该几何体是一挖去半球的球．其中两个半圆的面积为．个球的表面积为,所以这个几何体的表面积是,选A． 9．在中，若，则角的取值范围是（　C　）A．　　B． 　　C．　　D．【答案】C【解析】由题意正弦定理10．已知等比数列，且，则的值为　B　A．　　B．　　C．　　D．11．两千多年前，古希腊毕达哥拉斯学派的数学家曾经在沙滩上研究数学问题．他们在沙滩上画点或用小石子表示数，按照点或小石子能排列的形状对数进行分类．如下图中实心点的个数，，，，…为梯形数．根据图形的构成，记此数列的第项为，则　　　DA．　B．　C．　D．12．已知球夹在一个锐二面角之间，与两个半平面相切于点，若，球心到二面角的棱的距离为，则球的体积为　BA．　　B．　　C．　　D．试卷二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．答案填在答题纸相应的空内． ． 14．若实数，满足不等式组 则的最小值是15．右图是正方体的平面展开图，则在这个正方体中，与所成的角是　　　．16．上的函数满足，已知，则数列的前项和　　　．三、解答题：本大题共6小题，共70分．请将解答过程书写在答题纸上，并写出文字说明、证明过程或演算步骤．已知直线过点为，且与轴、轴的正半轴分别交于、两点，为坐标原点．（1）当时，求直线的方程；（2）当面积最小时，求直线的方程并求出面积的最小值．解：（1）由已知,， ……………2分由直线方程的点斜式可得直线的方程为，所以直线的方程为 ……………4分（2）设直线的方程为，因为直线过，所以　 ∵　，∴　，当且仅当，即时，取得等号．∴　　，即面积的最小值为　　……8分所以，直线的方程是，即 ………10分18．（本小题满分12分）已知函数()的最小正周期为（1）求的值及函数的单调递增区间当时求函数的取值范围解: 　　　　………………4分因为最小正周期为,所以 所以． 由,,得． 所以函数的单调递增区间为[], （2）因为,所以, 所以 所以函数在上的取值范围是19．（本小题满分12分）如图，由个数组成的方阵中，自左向右每一行都构成等差数列，设第1，2，…，行的公差依次为．方阵中自上而下每一列组成公比均相同的等比数列，已知，．（1）求及的值；（2）若，求方阵中所有数的和．解：设每一列组成的等比数列的公比为（1），， ， ……………3分 ………………6分（2），，，设第1列，第2列，…，第6列的和分别为，，，…，由已知每一列组成公比为的等比数列 …………12分20．（本小题满分12分）中，点为边上的一点，且（）．（1）若等边三角形边长为，且，求；（2）若，求实数的取值范围．解：（1）当时，，∴　　　　　………4分(2）设等边三角形的边长为，则，………6分………8分即，∴　，∴　．………10分又，∴　． ………12分21．（本小题满分12分）如图，四边形与均为菱形， ，且．（）平面；【理】（）的余弦值． 【文】（2）求与平面所成角的正弦值．（1）证明：设与相交于点，连结．因为四边形为菱形，所以，且为中点．又，所以． 因为，所以平面． 【理】（2）解：因为四边形为菱形，且，所以△为等边三角形．因为为中点，所以，故平面．由两两垂直，建立如图所示的空间直角坐标系．设．因为四边形为菱形，，则，所以，．所以 ． 所以 ，． 设平面的法向量为，则有所以 取，得．易知平面的法向量为． 由二面角是锐角，得 ． 所以二面角的余弦值为．【文】，平面的法向量则设与平面所成角为，则　　　　………12分22．（本小题满分12分）已知，分别是定义在上的偶函数和奇函数，且．（1）求，的解析式；（2）解不等式；（3）若对任意使得不等式恒成立，求实数的取值范围．解：（1）由，得，解得，．　………3分（2）∵　在是单调递增的奇函数，∴　，∴　，解得或．∴　．　　　　………6分（3），即得，参数分离得，………8分令，则，于是，，因为，所以．　………12分www.gkstk.com正视图俯视图左视图河北省石家庄市重点中学2012-2013学年高一下学期期末考试数学试题
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