2019高二数学期末考试题[1]

一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分）
1．下列命题正确的是
22
A．若ab,cd，则acbd B．若ab，则acbc
（ ）
C．若acbc，则ab D

ab 2．如果直线ax2y20与直线3xy20平行，那么系数a的值是
23
A．－3 B．－6 C． D．
32
y22
3．与双曲线x1有共同的渐近线，且过点（2，2）的双曲线方程为
4
22y2x2yx1 A．1 B．
28312
（ ）
（ ）
x2y2
1 C．28
22
D．xy1
312
4．下说法正确的有 （ ）
①对任意实数a、b,都有|a+b|+|a－b|2a;
②函数y=x·x2(02
③对aR,不等式|x|22
A． ①②③④ B．②③④ C．②④ D．①④
22
5．直线l过点P(0,2),且被圆x+y=4截得弦长为2,则l的斜率为 （ ）
A． B． C．2 D．
23x2y2
6．若椭圆221(a＞b＞0)的左、右焦点分别为F1、F2，线段F1F2被抛物线y2=2bx的
ab
焦点分成5∶3的两段，则此椭圆的离心率为 （ ） A．
2
7．已知不等式axbxc0的解集为（—∞，—1）∪（3，+∞），则对于函数
，下
（ ） A．f(4)f(0)f(1) C．f(0)f(1)f(4)
16
B

17
C．
4
5
D

f(x)ax2bxc
列不等式成立的是
B．f(4)f(1)f(0) D．f(0)f(4)f(1)
2
8．已知直线2xy40，则抛物线yx上到直线距离最小的点的坐标为
（ ）
A．(1,1) B．(1,1) C．(1,1) D．(1,1)
xy309．设z=xy, 式中变量x和y满足条件， 则z的最小值为
x2y0
（ ）
A．1 B．1 C．3 D．3
10．已知椭圆E的离心率为e，两焦点为F1，F2. 抛物线C以F1为顶点，F2为焦点.P为两曲线的一个交点.若
A．
3
PF1PF2
e,则e的值为 （ ）
B．
2
C．2
2
D．6
3
二、填空题（本大题共4小题，每小题4分，共16分）
11．设中心在原点的椭圆与双曲线2x2－2y2=1有公共的焦点，且它们的离心率互为倒数，
则该椭圆的方程是 ．
12．已知两变量x，y之间的关系为lg(yx)lgylgx，则以x为自变量的函数y的
最小值为________．
13．直线l经过直线xy20和xy40的交点，且与直线x2y10的夹角为4

45°，则直线l方程的一般式为 . 14．已知下列四个命题：
①在直角坐标系中，如果点P在曲线上，则P点坐标一定满足这曲线方程的解； ②平面内与两个定点F1，F2的距离的差的绝对值等于常数的点的轨迹叫做双曲线； ③角α一定是直线yxtan2的倾斜角； ④直线3x4y50关于x轴对称的直线方程为3x4y50.
其中正确命题的序号是 （注：把你认为正确命题的序号都填上） 三、解答题（本大题共6小题，共74分） 15．解不等式x22x1|x|0.（12分）
x
16．已知圆x2y29与直线l交于A、B两点，若线段AB的中点M(2,1)
（1）求直线l的方程； （2）求弦AB的长．（12分）
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17．过抛物线y2=2px(p>0)的焦点F的直线与抛物线交于A、B两点,O为坐标原点,直线OA
的斜率为k1,直线OB的斜率为k2.
（1）求k1·k2的值；
（2）两点向准线做垂线,垂足分别为A1、B1,求A1FB1的大小．（12分）
18．某厂生产甲、乙两种产品，生产每吨甲、乙产品所需煤、电力和所获利润如下表所示：

两种产品各多少，能使利润总额达到？（12分）
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19．已知双曲线的中心在原点，右顶点为A(1,0)，点P、Q在双曲线的右支上，点M(m,0)
到直线AP的距离为1．
求实数m的取值范围； （2）当m=2+1时，△APQ的内心恰好是点M，求此双曲线的方程．（14分）
（1）若直线AP的斜率为k，且|k|

20．如图，已知RtPAB的直角顶点为B，点P(3,0)，点B在y轴上，点A在x轴负半
轴上，在BA的延长线上取一点C，使AC2AB． （1）在y轴上移动时，求动点C的轨迹C；
（2）若直线l:yk(x1)与轨迹C交于M、N两点， 设点D(1,0)，当MDN为锐角时，求k的取值范围．（14分）

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参考答案

x2
11． y21 12． 4 13． x3y80或3xy-60 14． ① ④
2
三、解答题（本大题共6题，共76分） 15．（12分）
0时，原不等式可化为:|x1|1,解得x11或x11,

即x2或x0, 则原不等式的解为:x2

;当x0时，原不等式可化为:|x1|10，该不等式恒成立 所以，原不等式的解为x|x0或x2.
1
，得kAB1，kAB2， 16．（12分）[解析]： （1）由kABkOM1
2
l:y12(x2)即2xy50．
[解析]：当x
（2）原点到直线l的距离为d17．（12分）
[解析]：．设A(x1,y1)，B(x2,y2)，则k1
，AB2AP4．

yy1
，k22，
x2x1
p
），代入抛物线方程2
∵直线AB过焦点F,若直线AB与x轴不垂直，∴可设AB方程为：y=k（x有
pp1
，则y1·y2=－p2， x2=k(x)22pxk2x2p(k2

;2)xp2k20，可得x1·
244
2
2
∴k1·k2=
y1y2
k2=－4 4；若直线AB与x轴垂直,得k1=2, k22,∴k1·
x1x2
(2) 如图，∵ A、B在抛物线上，∴ |AF|=|AA1| ∴∠AA1F=∠AFA1，∴∠AFA1= 900B1A1F 同理 BFB190A1B1F
∴ A1FB11800(900B1A1F)(900A1B1F)
B1A1FA1B1F90o ，
又B1A1FA1B1F1800A1FB1，
18．（12分）[解析]：设每天生产甲、乙两钟产品分别为xt、
A1FB1180A1FB1A1FB190.
yt，
利润总额为z万元.那么：
9x

4y350, 
4x5y220,  0 x0, y z=12x6y
作出以上不等式组所表示的平面区域，即可行域
z12x6y，作出以上不等式组所表示的平面
y0，把直线l向右上方平移至l位置时，直线经过
可行域上点M，现与原点距离，此时z=12x6y取值.
区域，即可行域（如右图）. 作直线l:2x
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解方程组
9x4y350
得M（30，20）
4x5y220
答：生产甲产品30t，乙产品20t，能使利润总额达到. 19．（14分）[解析]：（1） 由条件得直线AP的方程yk(x1)，即kx－y－k=0， 因为点M到直线AP
的距离为1，
k2111m12,k[,],
23kkk1mkk

222m121m3或1m1. 333
2
（2）可设双曲线方程为x
y2b
2
1(b0)，由M(21,0),A(1,0)得2.又因为M是APQ
的内心，M到AP的距离为1，所以MAP
45,直线AM是APQ的角平分线，且M到AQ、
PQ的距离均为1，因此，kAP1,kAQ1,（不妨设A在象限），直线PQ的方程为x22，直线AP的方程为yx1
所以解得点P的坐标为(22,12)，将其代入x
2的方程为x
2
y2b
2
1(b0)得b2
2123
，所求双曲线
2321
y21，即x2

1485;(221)y21.
20．（14分）[解析]：设C(x,y),A(a,0),B(0,b),
bbbb
kAB,kBP,()1,即b23a.
a3a3
ACAB,AC2BA,(xa,y)2(a,b),x3a,y2b,
y2
x,即y24x(x0).
4
（２）令M(x1,y1),N(x2,y2),kMD
2y1y
,kND2,把yk(x1)代入y4x, x11x21
2
得k2x2(42k2)xk20,xx2k4,xx1,yy4，
1212122
k
yy2
当MDND11即x1x2x

1x2y1y210,
x11x21
12
4

410,k又1616k

20,1k1, 2k结合图形可得1kk1.

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