逍遥学能 2018-09-07 12:11
数列对于高考数学的重要性，相信不要吴老师多说，很多人心里都有数。无论是数列的基础知识、数列求和、通项公式、数列综合应用等等，都是高考数学重要的考查对象。
从历年高考数学题型来看，数列可以和函数、方程、不等式、三角等相关知识进行“串联”，形成更为复杂的综合性问题；或是结合实际生活例子，考查考生运用数列知识解决实际问题的能力。
高考数列试题这样安排的目的，体现高考作为选拔人才的功能，凸显对考生能力的考查。
不管哪一块知识内容，题型多复杂、解法多灵活、知识点怎么变化等等，万变不离其宗，彻底扎实掌握好基础知识内容，这一点是永远都不会变。
扎实的基础是我们准确解出题目的前提，要想提高数学能力、解题能力，就要把基础学好、巩固好。
因此，要想能全部解出数列相关高考问题，就要学好数列基础知识内容。今天我们就一起来简单分析数列基础知识内容，希望能帮助大家巩固好基础知识，为进一步提高数学成绩打下一个良好的开端。
首先，大家对数列的定义、通项公式、递推公式，要分的清清楚楚：
什么是数列？
数列是指按照一定顺序排列的一列数。
什么是数列的项？
数列的项是指数列中的每一个数。
什么是数列的通项公式？
如果数列{an}的第n项与序号n之间的关系可以用一个式子来表示，那么这个公式叫做这个数列的通项公式。
什么是数列的递推公式？
如果已知数列{an}的首项(或前几项)，且任一项an与它的前一项an－1(n≥2)(或前几项)间的关系可用一个公式来表示，那么这个公式叫数列的递推公式。
典型例题分析1：
数列{an}中，已知a1＝2，an＋1＝an＋cn(n∈N*，常数c≠0)，且a1，a2，a3成等比数列．
(1)求c的值；
(2)求数列{an}的通项公式．
解：(1)由题知，a1＝2，a2＝2＋c，a3＝2＋3c，
因为a1，a2，a3成等比数列，所以(2＋c)2＝2(2＋3c)，
解得c＝0或c＝2，又c≠0，故c＝2.
(2)当n≥2时，由an＋1＝an＋cn得
a2－a1＝c，
a3－a2＝2c，
…
an－an－1＝(n－1)c，
以上各式相加，得an－a1＝[1＋2＋…＋(n－1)]c＝n(n-1)c/2，
又a1＝2，c＝2，故an＝n2－n＋2(n≥2)，
当n＝1时，上式也成立，
所以数列{an}的通项公式为an＝n2－n＋2(n∈N*)．
要想学好数列基础知识内容，我们要学会从多角度去看待数列。如数列从本质上来看，我们可以把它看成是一种特殊的函数。因此，数列不仅有其本身的特殊性，更具有很多函数的性质。如数列最明显的函数特征：数列是一个定义域为正整数集N*(或它的有限子集{1,2,3，…，n})的特殊函数，数列的通项公式也就是相应的函数解析式，即f(n)＝an(n∈N*)。
要想对数列概念进行彻底理解，那么一定要从本质上去认识数列。数列是按一定“顺序”排列的一列数，一个数列不仅与构成它的“数”有关，而且还与这些“数”的排列顺序有关，这有别于集合中元素的无序性。因此，若组成两个数列的数相同而排列次序不同，那么它们就是不同的两个数列。
数列中的数可以重复出现，而集合中的元素不能重复出现，这也是数列与数集的区别。
典型例题分析2：
数列{an}的通项公式是an＝n2－7n＋6.
(1)这个数列的第4项是多少？
(2)150是不是这个数列的项？若是这个数列的项，它是第几项？
(3)该数列从第几项开始各项都是正数？
解：(1)当n＝4时，a4＝42－4×7＋6＝－6.
(2)令an＝150，即n2－7n＋6＝150，
解得n＝16或n＝－9(舍去)，
即150是这个数列的第16项．
(3)令an＝n2－7n＋6>0，解得n>6或n<1(舍)．
故从第7项起各项都是正数．
记住这“三步法”，假如已知数列{an}的前n项和Sn，求数列的通项公式，其求解过程分为三步：
1、先利用a1＝S1求出a1；
2、用n－1替换Sn中的n得到一个新的关系，利用an＝Sn－Sn－1(n≥2)便可求出当n≥2时an的表达式；
3、对n＝1时的结果进行检验，看是否符合n≥2时an的表达式，如果符合，则可以把数列的通项公式合写；如果不符合，则应该分n＝1与n≥2两段来写。
典型例题分析3：
已知数列{an}的前n项和Sn＝2n2＋2n，数列{bn}的前n项和Tn＝2－bn.求数列{an}与{bn}的通项公式．
解：∵当n≥2时，
an＝Sn－Sn－1＝(2n2＋2n)－[2(n－1)2＋2(n－1)]＝4n，
当n＝1时，a1＝S1＝4也适合，
∴{an}的通项公式是an＝4n(n∈N*)．
∵Tn＝2－bn，
∴当n＝1时，
b1＝2－b1，b1＝1.
当n≥2时，
bn＝Tn－Tn－1＝(2－bn)－(2－bn－1)，
∴2bn＝bn－1.
∴数列{bn}是公比为1/2，首项为1的等比数列．
∴bn＝（1/2）n－1.
根据数列的前几项求它的一个通项公式，要注意观察每一项的特点，观察出项与n之间的关系、规律，可使用添项、通分、分割等办法，转化为一些常见数列的通项公式来求。对于正负符号变化，可用(－1)n或(－1)n＋1来调整。
根据数列的前几项写出数列的一个通项公式是不完全归纳法，它蕴含着“从特殊到一般”的思想。
同时要学会对数列进行分类：
按照项数标准来分，可以分成有穷数列和无穷数列两种。
有穷数列是指项数有限；无穷数列是指项数无限。
按照项与项间的大小关系来分，可以分成递增数列、递减数列、常数列三种。
递增数列是指满足an＋1>an的条件，其中n∈N*；
递减数列是指满足an＋1<an的条件，其中n∈N*；
常数列是指满足an＋1＝an的条件，其中n∈N*。
如等差数列和等比数列是两种最基本、最常见的数列，它们是研究数列性质的基础。
典型例题分析4：
已知数列{an}中，a1＝1，且满足递推关系an＋1＝(2a2n+3an+m)/(an+1)(n∈N*)．
(1)当m＝1时，求数列{an}的通项公式an；
(2)当n∈N*时，数列{an}满足不等式an＋1≥an恒成立，求m的取值范围．
解：(1)∵m＝1，由an＋1＝(2a2n+3an+1)/(an+1)(n∈N*)，
得an＋1＝(2an+1)(an+1)/(an+1)＝2an＋1，
∴an＋1＋1＝2(an＋1)，
∴数列{an＋1}是以2为首项，公比也是2的等比数列．
于是an＋1＝2·2n－1，
∴an＝2n－1.
(2)∵an＋1≥an，而a1＝1，知an≥1，
∴(2a2n+3an+m)/(an+1)≥an，
即m≥－an2－2an，
依题意，有m≥－(an＋1)2＋1恒成立．
∵an≥1，
∴m≥－22＋1＝－3，即满足题意的m的取值范围是[－3，＋∞)．
最值是解决数列相关问题最常见的题型之一，数列中项的最值的求法：
根据数列与函数之间的对应关系，构造相应的函数an＝f(n)，利用求解函数最值的方法求解，但要注意自变量的取值。
求和也是数列当中非常重要的知识内容，前n项和最值的求法：
1、先求出数列的前n项和Sn，根据Sn的表达式求解最值；
2、根据数列的通项公式，若am≥0，且am＋1<0，则Sm最大；若am≤0，且am＋1>0，则Sm最小，这样便可直接利用各项的符号确定最值。
数列综合问题很多时候在高考数学中占据较多分数，此类题型最大的特点就是以数列相关知识内容为载体，与函数、不等式、数学归纳法、实际问题、解析几何、三角等知识相互结合，形成较为复杂的数列综合问题。
很多学生面对这些综合问题，就会产生退缩的心里，无法拿到相应的分数。其实数列类综合问题并不可怕，关键在于大家能否掌握好全部基础知识内容，同时学会运用这些基础知识去解决实际问题等等，不断提高数学综合能力。