逍遥学能 2018-09-06 11:59
时间:120分钟 总分:150分
(教师版)
选择题(总计50分)
一.单项选择题(本大题10个选项 各小题5分 本大题50分)
1.如图,在圆O中,M,N是弦AB的三等分点,弦CD,CE分别经过点M,N.若CM=2,MD=4,CN=3,则线段NE的长为( )
A . B.3 C. D.
1.令AB=3a(a>0),因为CM•MD=AM•MB,即2×4=2a2,所以a=2.又因为CN•NE=AN•NB,即3NE=4×2,所以NE= ,故选A.
2.阅读如图所示的程序框图,运行相应的程序,则输出的结果为( )
A.2 B.1 C.0 D.-1
2.执行程序:i=1,S=0;S=cos =0,i=2;S=0+cos π=-1,i=3;S=-1+cos =-1,i=4;S=-1+cos =0,i=5;S=0+cos =0,i=6,满足i>5,退出循环,输出的结果为0,故选C.
3.平行于直线2x+y+1=0且与圆x2+y2=5相切的直线的方程是( )
A.2x+y+5=0或2x+y-5=0
B.2x+y+ =0或2x+y- =0
C.2x-y+5=0或2x-y-5=0
D.2x-y+ =0或2x-y- =0
3.切线平行于直线2x+y+1=0,故可设切线方程为2x+y+c=0(c≠1),结合题意可得 = ,解得c=±5.故选A.
4.如图,已知△ABC,D是AB的中点,沿直线CD将△ACD翻折成△A'CD,所成二面角A'-CD-B的平面角为α,则 ( )
A.∠A'DB≤α B.∠A'DB≥α C.∠A'CB≤α D.∠A'CB≥α
4.若CD⊥AB,则∠A'DB为二面角A'-CD-B的平面角,即∠A'DB=α.
若CD与AB不垂直,在△ABC中,过A作CD的垂线交线段CD或CD的延长线于点O,交BC于E,连结A'O,则∠A'OE为二面角A'-CD-B的平面角,即∠A'OE=α,∵AO=A'O,∴∠A'AO= .又A'D=AD,∴∠A'AD= ∠A'DB.而∠A'AO是直线A'A与平面ABC所成的角,由线面角的性质知∠A'AO<∠A'AD,则有α<∠A'DB.综上有∠A'DB≥α,故选B.
5.已知△ABC的三边长分别为a,b,c,且满足b+c≤3a,则 的取值范围为( )
A.(1,+∞) B.(0,2) C.(1,3) D.(0,3)
5.由已知及三角形三边关系得
∴ ∴ 两式相加得,0<2× <4,∴ 的取值范围为(0,2),故选B.
6.设四边形ABCD为平行四边形,| |=6,| |=4.若点M,N满足 =3 , =2 ,则 • =( )
A.20 B.15 C.9 D.6
6.依题意有 = + = + , = + = - = - ,所以 • = • = - =9.故选C.
7.△ABC是边长为2的等边三角形,已知向量a,b满足 =2a, =2a+b,则下列结论正确的是( )
A.|b|=1 B.a⊥b
C.a•b=1 D.(4a+b)⊥
7.∵b= - = ,∴|b|=| |=2,故A错;∵ • =2×2×cos 60°=2,即-2a•b=2,∴a•b=-1,故B、C都错;∵(4a+b)• =(4a+b)•b=4a•b+b2=-4+4=0,∴(4a+b)⊥ ,故选D.
8.已知点A,B,C在圆x2+y2=1上运动,且AB⊥BC.若点P的坐标为(2,0),则| + + |的最大值为( )
A.6 B.7 C.8 D.9
8.解法一:由圆周角定理及AB⊥BC,知AC为圆的直径.
故 + =2 =(-4,0)(O为坐标原点).
设B(cos α,sin α),∴ =(cos α-2,sin α),
∴ + + =(cos α-6,sin α),| + + |= = ≤ =7,当且仅当cos α=-1时取等号,此时B(-1,0),故| + + |的最大值为7.故选B.
解法二:同解法一得 + =2 (O为坐标原点),又 = + ,∴| + + |=|3 + |≤3| |+| |=3×2+1=7,当且仅当 与 同向时取等号,此时B点坐标为(-1,0),故| + + |
|max=7.故选B. R>(2)点Q是线段BP上的动点,当直线CQ与DP所成的角最小时,求线段BQ的长. |x-2|的最小值.
9.sin 20°cos 10°-cos 160°sin 10°=( )
A.- B. C.- D.
9.原式=sin 20°cos 10°+cos 20°sin 10°=sin(20°+10°)=sin 30°= ,故选D.
10.若集合M=(x+4)(x+1)=0,N=x,则M∩N=( )
A.1,4 B.-1,-4 C.0 D.⌀
10.化简集合得M=-4,-1,N=1,4,
显然M∩N=⌀,故选D.
非选择题(总计100分)
二.填空题(本大题20分各小题5分)
11.在极坐标系中,点 到直线ρ(cos θ+ sin θ)=6的距离为________.
11.由极坐标与直角坐标的互化公式可得极坐标系中点 对应的直角坐标为(1, ),直线ρ(cos θ+ sin θ)=6对应的直角坐标方程为x+ y=6,由点到直线的距离公式可得,所求距离为 =1.
12.已知一组数据4,6,5,8,7,6,那么这组数据的平均数为________.
12.由已知得,所求平均数为 =6.
13.如图,四边形ABCD和ADPQ均为正方形,它们所在的平面互相垂直,动点M在线段PQ上,E,F分别为AB,BC的中点.设异面直线EM与AF所成的角为θ,则cos θ的最大值为________.
13.如图,建立空间直角坐标系A-xyz,
设AB=2,QM=m(0≤m≤2),
则F(2,1,0),E(1,0,0),M(0,m,2)(0≤m≤2).
=(2,1,0), =(1,-m,-2),
cos θ=|cos< , >|= = = .
设y= ,
则y'=
=
= .
当0
∴当m=0时,y取最大值,
此时cos θ取最大值,(cos θ)max= = .
14.如图,一辆汽车在一条水平的公路上向正西行驶,到A处时测得公路北侧一山顶D在西偏北30°的方向上,行驶600 m后到达B处,测得此山顶在西偏北75°的方向上,仰角为30°,则此山的高度CD=________m.
14.依题意有AB=600,∠CAB=30°,∠CBA=180°-75°=105°,∠DBC=30°,DC⊥CB.
∴∠ACB=45°,
在△ABC中,由 = ,
得 = ,有CB=300 ,
在Rt△BCD中,CD=CB•tan 30°=100 ,
则此山的高度CD=100 m.
三.解答题(本大题80分15 16 17 18小题10分19小题14分20小题16分)
15.某工厂36名工人的年龄数据如下表.
工人编号 年龄 工人编号 年龄 工人编号 年龄 工人编号 年龄
1 40 10 36 19 27 28 34
2 44 11 31 20 43 29 39
3 40 12 38 21 41 30 43
4 41 13 39 22 37 31 38
5 33 14 43 23 34 32 42
6 40 15 45 24 42 33 53
7 45 16 39 25 37 34 37
8 42 17 38 26 44 35 49
9 43 18 36 27 42 36 39
(1)用系统抽样法从36名工人中抽取容量为9的样本,且在第一分段里用随机抽样法抽到的年龄数据为44,列出样本的年龄数据;
(2)计算(1)中样本的均值 和方差s2;
(3)36名工人中年龄在 -s与 +s之间有多少人?所占的百分比是多少(精确到0.01%)?
15.(1)由系统抽样,将36名工人分为9组(4人一组),每组抽取一名工人.
因为在第一分段里抽到的是年龄为44的工人,即编号为2的工人,故所抽样本的年龄数据为44,40,36,43,36,37,44,43,37.
(2)均值
= =40;
方差s2= ×= .
(3)由(2)可知s= .由题意,年龄在 内的工人共有23人,所占的百分比为 ×100%≈63.89%.
16.如图,在四棱锥P-ABCD中,已知PA⊥平面ABCD,且四边形ABCD为直角梯形,∠ABC=∠BAD= ,PA=AD=2,AB=BC=1.
(1)求平面PAB与平面PCD所成二面角的余弦值;
16.以, ,为正交基底建立如图所示的空间直角坐标系A-xyz,则各点的坐标为B(1,0,0),C(1,1,0),D(0,2,0),P(0,0,2).
(1)易知AD⊥平面PAB,所以 是平面PAB的一个法向量, =(0,2,0).
因为 =(1,1,-2), =(0,2,-2),
设平面PCD的法向量为m=(x,y,z),
则m• =0,m• =0,
即
令y=1,解得z=1,x=1.
所以m=(1,1,1)是平面PCD的一个法向量.
从而cos< ,m>= = ,
所以平面PAB与平面PCD所成二面角的余弦值为 .
(2)因为 =(-1,0,2),
设 =λ =(-λ,0,2λ)(0≤λ≤1),
又 =(0,-1,0),
则 = + =(-λ,-1,2λ),
又 =(0,-2,2),
从而cos< , >= = .
设1+2λ=t,t∈,
则cos2 < , >= = ≤ .
当且仅当t= ,即λ= 时,
|cos< , >|的最大值为 .
因为y=cos x在 上是减函数,所以此时直线CQ与DP所成的角取得最小值.
又因为BP= = ,
所以BQ= BP= .
17. 已知函数f(x)=sin .
(Ⅰ)求f(x)的单调递增区间;
(Ⅱ)若α是第二象限角, f = cos cos 2α,求cos α-sin α的值.
17.(Ⅰ)因为函数y=sin x的单调递增区间为 ,k∈Z.
由- +2kπ≤3x+ ≤ +2kπ,k∈Z,得
- + ≤x≤ + ,k∈Z.
所以,函数f(x)的单调递增区间为 ,k∈Z.
(Ⅱ)由已知,有sin = cos (cos2α-sin2α),
所以sin αcos +cos αsin
= (cos2α-sin2α).
即sin α+cos α= (cos α-sin α)2(sin α+cos α).
当sin α+cos α=0时,由α是第二象限角,知α= +2kπ,k∈Z.
此时,cos α-sin α=- .
当sin α+cos α≠0时,有(cos α-sin α)2= .
由α是第二象限角,知cos α-sin α<0,此时cos α-sin α=- .
综上所述,cos α-sin α=- 或- .
18.已知向量a=(m,cos 2x),b=(sin 2x,n),函数f(x)=a•b,且y=f(x)的图象过点 和点 .
(Ⅰ)求m,n的值;
(Ⅱ)将y=f(x)的图象向左平移φ(0<φ<π)个单位后得到函数y=g(x)的图象,若y=g(x)图象上各最高点到点(0,3)的距离的最小值为1,求y=g(x)的单调递增区间.
18.(Ⅰ)由题意知f(x)=a•b=msin 2x+ncos 2x.
因为y=f(x)的图象经过点 和 ,
所以
即
解得m= ,n=1.
(Ⅱ)由(Ⅰ)知f(x)= sin 2x+cos 2x=2sin .
由题意知g(x)=f(x+φ)=2sin .
设y=g(x)的图象上符合题意的最高点为(x0,2),
由题意知 +1=1,所以x0=0,
即到点(0,3)的距离为1的最高点为(0,2).
将其代入y=g(x)得sin =1,
因为0<φ<π,所以φ= .
因此g(x)=2sin =2cos 2x.
由2kπ-π≤2x≤2kπ,k∈Z,得kπ- ≤x≤kπ,k∈Z,
所以函数y=g(x)的单调递增区间为 ,k∈Z.
19.已知向量 ， ， .
（Ⅰ）求函数 的单调递减区间；
（Ⅱ）在 中, 分别是角 的对边, , ,
若 ，求 的大小.
19.（Ⅰ）
，
所以 递减区间是 . （5分）
（Ⅱ）由 和 得: ,
若 ，而
又 , 所以
因为 ，所以
若 ，同理可得： ，显然不符合题意，舍去. （9分）
所以 ，
由正弦定理得: . （12分）
20.（2018福建，21（3）, 7分）设不等式|x-2|< a(a∈N*) 的解集为A, 且∈A, ∉A.
(Ⅰ) 求a的值;
(Ⅱ) 求函数f(x) =|x+a|+
20.(Ⅰ) 因为∈A, 且∉A, 所以 < a, 且 ≥a,
解得< a≤. 又因为a∈N*, 所以a=1.
(Ⅱ) 因为|x+1|+|x-2|≥|(x+1) -(x-2) |=3,
当且仅当(x+1) (x-2) ≤0, 即-1≤x≤2时取到等号, 所以f(x) 的最小值为3.
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