逍遥学能 2014-05-13 10:17
算法是高中数学课程中的新增内容，其思想是非常重要的，但并不神秘。例如，运用消元法解二元一次方程组、求最大公因数等的过程就是算法。一般地，机械式地按照某种确定的步骤行事，通过一系列小的简单计算操作完成复杂计算的过程，被人们称为“算法”过程。例如，人们很容易完成的基本计算是一位数的加、减、乘和进位借位等，复杂计算过程实际上都是通过这些操作，按照一定的工作次序与步骤，组合完成的。
一、内容与课程学习目标
算法是数学及其应用的重要组成部分，是计算科学的重要基础。随着现代信息技术的飞速发展，算法在科学技术、社会发展中发挥着越来越大的作用，并日益融入社会生活的许多方面，算法思想已经成为现代人应具备的一种数学素养。需要特别指出的是，中国古代数学中蕴涵了丰富的算法思想。在本章中，学生将在义务教育阶段初步感受算法思想的基础上，结合对具体数学实例的分析，体验程序框图在解决问题中的作用；通过模仿、操作、探索，学习设计程序框图表达解决问题的过程；体会算法的基本思想以及算法的重要性和有效性，发展有条理的思考与表达的能力，提高逻辑思维能力。
具体来说，通过本章的学习，应当使学生达到以下目标：
1．算法的含义、程序框图
（1）通过对解决具体问题过程与步骤的分析（如：二元一次方程组求解等问题），体会算法的思想，了解算法的含义。
（2）通过模仿、操作、探索，经历设计程序框图表达解决问题的过程。在具体问题的解决过程中（如：三元一次方程组求解等问题），理解程序框图的三种基本逻辑结构：顺序、条件分支、循环。
2．基本算法语句
经历将具体问题的程序框图转化为程序语句的过程，理解几种基本算法语句——输入语句、输出语句、赋值语句、条件语句、循环语句，体会算法的基本思想。
3．通过阅读中国古代数学中的算法案例，体会中国古代数学对世界数学发展的贡献，增强民族自豪感。
二、内容安排
本章包括3节，约需12课时，具体内容和课时分配（仅供参考）如下：
1.1 算法与程序框图 约2课时
1.2 基本算法语句 约3课时
1.3 算法案例 约6课时
阅读与思考 割圆术
小 结 约1课时
本章知识结构如下：
1．中学数学中的算法内容和其它内容是密切联系在一起的，比如线性方程组的求解、数列的求和等。具体来说，需要通过模仿、操作、探索，学习设计程序框图表达解决问题的过程，体会算法的基本思想和含义，理解算法的基本结构和基本算法语句，并了解中国古代数学中的算法。
2．本章集中解决算法的一些基本问题，比如通过实例让学生体会和理解算法的含义，通过模仿、操作、探索，经历通过设计程序框图表达解决问题的过程，了解算法语言的基本构成，理解几种基本算法语句——输入语句、输出语句、赋值语句、条件语句、循环语句，并通过阅读中国古代数学中的算法案例，体会中国古代数学对世界数学发展的贡献。
3．一般算法由顺序、条件和循环三种基本结构组成。顺序结构是由若干个依次执行的处理步骤组成的，这是任何一个算法都离不开的基本主体结构。例如，下面的算法就是典型的顺序结构。
一个三角形的三边边长分别为2、3、4，设计一个算法，求出它的面积。
算法分析：
第一步：输入3个数2、3、4。
第二步：计算。
第三步：计算三角形的面积。
第四步：输出s的值。
条件结构是以条件的判断为起始点，根据条件是否成立而决定执行哪一个处理步骤。例如，下面的例题就要求我们做出判断。
任意给定3个正实数，设计一个算法求分别以这3个数为三边边长的三角形的面积。
算法分析：
第一步：输入3个数a、b、c。
第二步：判断a、b、c是否能构成三角形。
第三步：如果能构成三角形，计算和三角形的面积。
第四步：输出ｓ的值或者“无法构成三角形”的信息。
循环结构是指在算法设计中，从某处开始有规律地反复执行某一处理步骤，这个处理步骤称为循环体。循环体的执行次数由一个控制循环条件决定。满足条件反复做，不满足则停止。
循环结构分为两种──当型（while型）和直到型（until型）。当型循环在执行循环体前对控制循环条件进行判断，当条件满足时反复做，不满足停止；直到型循环在执行了一次循环体之后，对控制循环条件进行判断，当条件不满足时反复做，满足则停止。
下面的例子分别用当型和直到型算法解决同一个问题。
例如，画出求1 + 2 +… + 100的程序框图。
程序框图：
“WHILE型循环” “UNTIL型循环”
4．“算法是计算机科学的基础”，计算机完成任何一项任务都需要算法。但是，用自然语言或程序框图描述的算法计算机是无法“理解”的，我们还需要将算法用计算机能够理解的语言表达出来，通常这称为程序设计，所用的语言称为程序设计语言（programming language）。程序设计语言由一些有特定含义的程序语句构成，与算法程序框图的三种基本结构相对应，任何程序设计语言都包含输入输出语句 、赋值语句、条件语句和循环语句。不同的程序设计语言有不同的语句形式和语法规则，但基本结构是相同的。正是由于这样的原因，在研究算法的时候，有时并不很关心算法语句是否用得是某种精确的程序语言，而采用基本结构相同的更为简便易懂的语言形式，有人称之为伪代码。
5．中国古代数学中算法的内容是非常丰富的，比如，中国古代数学著作《九章算术》中介绍了下述“约分术”：
“可半者半之，不可半者，副置分母、子之数，以少减多，更相减损，求其等也。以等数约之。”
意思是说：若分子、分母全是偶数，则把分子、分母分别置于两边，然后由较大的数减去较小的数，并辗转相减，直到两边所得的数相等，就用这个数（等数）来约分。这个数就是分子和分母的最大公约数。
“约分术”实际上给出了求任意两个数的最大公约数的一种算法，被后人称为“更相减损术”。这种方法与欧氏算法异曲同工，本质上是相同的。
在中国古代数学中，中学生能够很容易理解的内容还有熟知的割圆术、多项式求值的秦九韶算法等。
算法内容反映了时代的特点，同时也是中国数学课程内容的新特色。中国古代数学以算法为主要特征，取得了举世公认的伟大成就。现代信息技术的发展使算法重新焕发了前所未有的生机和活力，算法进入中学数学课程，既反映了时代的要求，也是中国古代数学思想在一个新的层次上的复兴，也就成为了中国数学课程的一个新的特色。
三、编写中考虑的几个问题
１．强调通过案例引导学生认识算法的本质
算法的概念并没有一个统一的定义，教科书从丰富的实例出发，自始至终贯彻“通过对解决具体问题过程与步骤的分析（如二元一次方程组求解等问题），体会算法的思想，了解算法的含义”的要求，力求使学生能够对算法本质有所认识。自然语言、程序框图和算法语言是表达算法的三种形式，教科书通过简单的实例来说明程序框图和算法语言的使用，抓住了算法表示的核心内容，不追求完整。算法案例的处理也遵循了这一原则，重在对案例的算法的分析，案例的选择也主要从算法的典型性、与以往知识的连续性和可接受性的角度出发，使学生能够通过案例的学习进一步理解算法的本质。
２．突出与其他部分内容的联系，体现算法的基本思想
教科书中例题的选取注意体现与已经学过的内容的联系，比如一元二次方程、二元二次方程的解法过程，用二分法求方程的近似解，递推数列求和等等。力求通过这样的联系使学生认识到算法思想的重要性，并逐步能够应用算法思想解决一些实际问题。
3．强调学生的实践
算法是实践性很强的内容，只有通过学生自己的亲身实践，让学生亲自去解决几个算法设计的问题，才能使学生体会算法的基本思想，学会一些基本逻辑结构和语句。因此，在教科书编写过程中，特别强调了通过实例让学生体会和理解算法的含义，通过模仿、操作、探索，经历通过设计程序框图表达解决问题的过程，了解算法语言的基本构成，理解几种基本算法语句。
四、对教学的几个建议
１．准确把握算法内容的教学要求
算法一方面具有具体化、程序化、机械化的特点，同时又有高度抽象性、概括性和精确性。对于一个具体算法而言，从算法分析到算法语言的实现，任何一个疏漏或错误都将导致算法的失败。算法是思维的条理化、逻辑化。
算法既重视“算则”，更重视“算理”。对于算法而言，一步一步的程序化步骤，即“算则”固然重要，但这些步骤的依据，即“算理”有着更基本的作用，“算理”是“算则”的基础，“算则”是“算理”的表现。
算法思想可以贯穿于整个中学数学内容之中，有丰富的层次递进的素材，而在算法的具体实现上又可以和信息技术相联系，因而，算法有利于培养学生理性精神和实践能力，是实施探究性学习的良好素材。
根据对算法的上述理解，以及“标准”对算法的定位，教学中应当把体会算法的基本思想、提高学生逻辑思维能力作为重点，即教学过程中，应当以教科书中提供的案例为载体，引导学生在设计程序框图、将程序框图转化为程序语句的实践中，体会算法的含义，学会如何用程序框图表达解决问题的思路，而不要将本章内容简单处理成程序语言的学习和程序设计。
2．算法教学必须通过实例进行，应尽量使用信息技术
前已指出，算法的操作性很强，因此算法教学应当强调学生的动手实践。教学中应当充分应用教科书中提供的实例，使学生在解决具体问题的过程中学习一些基本逻辑结构和算法语句。
算法内容是将数学中的算法与计算机技术建立联系，形式化地表示算法。为了有条理地、清晰地表达算法，往往需要将解决问题的过程整理成程序框图；为了能在计算机上实现，又要将自然语言或程序框图翻译成计算机语言。因此，如果能让学生上机，算法设计的整个过程就可以得到完整的体现，学生可以及时看到自己设计的算法的可行性、有效性，这不但可以很好地激发学生的兴趣，而且还能提高学习效果。因此，有条件的学校，应鼓励学生尽可能上机尝试。
3．算法思想应渗透在整个高中数学课程中
算法除作为本模块的内容之外，其思想方法应渗透在高中数学课程其他有关内容中，鼓励学生尽可能地运用算法解决相关问题。在教学中，要体现数学与算法的有机结合，在学习相应的内容（如制作随机数表、三角函数表、数列、不等式等）的过程中，有意识地引导学生体会算法思想，使他们看到数学在算法设计中的作用，以及掌握算法思想对于提高数学能力的重要性。