逍遥学能 2018-07-17 11:21
浙江卷数学（理）试题答案与解析
部分（共50分）
一、：每小题5分，共50分．
1．已知i是虚数单位，则(−1+i)(2−i)=
A．−3+iB．−1+3i C．−3+3i D．−1+i
【命题意图】本题考查复数的四则运算，属于容易题
【答案解析】B
2．设集合S={xx>−2}，T={xx2+3x−4≤0}，则(RS)∪T=
A．(−2，1]B．(−∞，−4]C．(−∞，1]D．[1，+∞)
【命题意图】本题考查集合的运算，属于容易题
【答案解析】C 因为(RS)={xx≤−2}，T={x−4≤x≤1}，所以(RS)∪T=(−∞，1].
3．已知x，y为正实数，则
A．2lgx+lgy=2lgx+2lgyB．2lg(x+y)=2lgx ∙ 2lgy
C．2lgx ∙ lgy=2lgx+2lgy D．2lg(xy)=2lgx ∙ 2lgy
【命题意图】本题考查指数和对数的运算性质，属于容易题
【答案解析】D 由指数和对数的运算法则，易知选项D正确
4．已知函数f(x)=Acos(ωx+φ)(A>0，ω>0，φR)，则“f(x)是奇函数”是“φ=π2”的
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充分必要条件
D．既不充分也不必要条件
【命题意图】本题考查简易逻辑以及函数的奇偶性，属于中档题
【答案解析】B 由f(x)是奇函数可知f(0)=0，即cosφ=0，解出φ=π2+kπ，kZ，所以选项B正确
5．某程序框图如图所示，若该程序运行后输出的值是95，则
A．a=4B．a=5
C．a=6D．a=7
【命题意图】本题考查算法程序框图，属于容易题
【答案解析】A
6．已知αR，sin α+2cos α=102，则tan2α=
A．43B．34
C．−34D．−43
【命题意图】本题考查三角公式的应用，解法多样，属于中档题
【答案解析】C 由(sin α+2cos α)2=1022可得sin2α+4cos2α+4sin αcos α sin2α+cos2α=104，进一步整理可得3tan2α−8tan α−3=0，解得tan α=3或tan α=−13，于是tan2α=2tan α1−tan2α=−34.
7．设△ABC，P0是边AB上一定点，满足P0B=14AB，且对于AB上任一点P，恒有→PB∙→PC≥→P0B∙→P0C，则
A．ABC=90B．BAC=90C．AB=ACD．AC=BC
【命题意图】本题考查向量数量积的几何意义，不等式恒成立的有关知识，属于中档题
【答案解析】D 由题意，设→AB=4，则→P0B=1，过点C作AB的垂线，垂足为H，在AB上任取一点P，设HP0=a，则由数量积的几何意义可得，→PB∙→PC=→PH→PB=(→PB −(a+1))→PB，→P0B∙→P0C=−→P0H→P0B=−a，于是→PB∙→PC≥→P0B∙→P0C恒成立，相当于(→PB−(a+1))→PB≥−a恒成立，整理得→PB2−(a+1)→PB+a≥0恒成立，只需∆=(a+1)2−4a=(a−1)2≤0即可，于是a=1，因此我们得到HB=2，即H是AB的中点，故△ABC是等腰三角形，所以AC=BC
8．已知e为自然对数的底数，设函数f(x)=(ex−1)(x−1)k(k=1，2)，则
A．当k=1时，f(x)在x=1处取到极小值
B．当k=1时，f(x)在x=1处取到极大值
C．当k=2时，f(x)在x=1处取到极小值
D．当k=2时，f(x)在x=1处取到极大值
【命题意图】本题考查极值的概念，属于中档题
【答案解析】C 当k=1时，方程f(x)=0有两个解，x1=0，x2=1，由标根法可得f(x)的大致图象，于是选项A，B错误；当k=2时，方程f(x)=0有三个解，x1=0，x2=x3=1，其中1是二重根，由标根法可得f(x)的大致图象，易知选项C正确。
9．如图，F1，F2是椭圆C1：x24+y2=1与双曲线C2的公共焦点，A，B分别是C1，C2在第二、四象限的公共点．若四边形AF1BF2为矩形，则C2的离心率为
A．2 B．3
C．32 D．62
【命题意图】本题考查椭圆和双曲线的定义和几何性质，属于中档题
【答案解析】D 由题意，c=3，AF2+AF1=4……①，AF2−AF1=2a……②，①+②得AF2=2+a，①−②得AF1=2−a，又AF12+AF22= F1F22，所以a=2，于是e=ca=62.
10．在空间中，过点A作平面π的垂线，垂足为B，记B=fπ(A)．设α，β是两个不同的平面，对空间任意一点P，Q1=fβ[fα(P)]，Q2=fα[fβ(P)]，恒有 PQ1= PQ2，则
A．平面α与平面β垂直B．平面α与平面β所成的（锐）二面角为45
C．平面α与平面β平行D．平面α与平面β所成的（锐）二面角为60
【命题意图】本题考查新定义问题的解决，重在知识的迁移，属于较难题
【答案解析】A 用特殊法立即可知选项A正确
非选择题部分（共100分）
二、题：每小题4分，共28分．
11．设二项式x−13x5的展开式中常数项为A，则A= ．
【命题意图】考查二项式定理，属于容易题
【答案解析】−10
12．若某几何体的三视图（单位：cm）如图所示，则此几何体的
体积等于 cm3．
【命题意图】本题考查三视图和体积计算，属于容易题
【答案解析】24 由题意，该几何体为一个直三棱柱截去一个
三棱锥所得
13．设z=kx+y，其中实数x，y满足x+y−2≥0，x−2y+4≥0，2x−y−4≤0．若z的最大值为12，则实数k= ．
【命题意图】本题考查线性规划，属于容易题
【答案解析】2 作出平面区域即可
14．将A，B，C，D，E，F六个字母排成一排，且A，B均在C的同侧，则不同的排法有 种（用数字作答）．
【命题意图】本题考查排列组合，属于中档题
【答案解析】480 第一类，字母C排在左边第一个位置，有A55种；第二类，字母C排在左边第二个位置，有A24A33种；第三类，字母C排在左边第三个位置，有A22A33+ A23A33种，由对称性可知共有2( A55+ A24A33+ A22A33+ A23A33)=480种。
15．设F为抛物线C：y2=4x的焦点，过点F(−1，0)的直线l交抛物线C于A，B两点，点Q为线段AB的中点．若FQ=2，则直线l的斜率等于 ．
【命题意图】本题考查直线与抛物线的位置关系，属于中档题
【答案解析】±1 设直线l的方程为y=k(x+1)，联立y=k(x+1)， y2=4x．消去y得k2x2+(2k2−4)x+k2=0，由韦达定理，xA+ xB =−2k2−4 k2，于是xQ=xA+ xB2=2k2−1，把xQ带入y=k(x+1)，得到yQ=2k，根据FQ=2k2−22+2k2=2，解出k=±1．
16．在△ABC，C=90，M是BC的中点．若sinBAM=13，则sinBAC= ．
【命题意图】本题考查解三角形，属于中档题
【答案解析】63 设BC=2a，AC=b，则AM=a2+b2，AB=4a2+b2，sinABM= sinABC=ACAB=b 4a2+b2 ，在△ABM中，由正弦定理BMsinBAM=AMsinABM，即a13=a2+b2b 4a2+b2 ，解得2a2=b2，于是sinBAC=BCAB=2a 4a2+b2=63．
17．设e1，e2为单位向量，非零向量b=xe1+ye2，x，yR．若e1，e2的夹角为π6，则xb的最大值等于 ．
【命题意图】本题以向量为依托考查最值问题，属于较难题
【答案解析】2 xb=x(xe1+ye2)2=xx2+y2+3xy=1x2+y2+3xyx2=1yx2+3yx+1=1yx−3 22+14，所以xb的最大值为2
三、解答题：本大题共5小题，共72分．
18．（本小题满分14分）在公差为d的等差数列{an}中，已知a1=10，且a1，2a2+2，5a3成等比数列
（Ⅰ）求d，an；
（Ⅱ）若d<0，求a1+a2+a3+…+an．
【命题意图】本题考查等差数列、等比数列的概念，等差数列通项公式、求和公式等基础知识，同时考查运算求解能力。
【答案解析】
（Ⅰ）由题意
5a3 a1=(2a2+2)2，
即
d2−3d−4=0．
故
d=−1或d=4．
所以
an=−n+11，nN*或an=4n+6，nN*
（Ⅱ）设数列{an}的前n项和为Sn．因为d<0，由（Ⅰ）得d=−1，an=−n+11．则
当n11时，
a1+a2+a3+…+an=Sn=−12n2+212n
当n12时，
a1+a2+a3+…+an=−Sn+2S11=12n2−212n+110
综上所述，
a1+a2+a3+…+an=−12n2+212n， n11， 12n2−212n+110，n12．
19．（本题满分14分）设袋子中装有a个红球，b个黄球，c个蓝球，且规定：取出一个红球得1分，取出一个黄球得2分，取出一个蓝球得3分．
（Ⅰ）当a=3，b=2，c=1时，从该袋子中任取（有放回，且每球取到的机会均等）2个球，记随机变量ξ为取出此2球所得分数之和，求ξ的分布列；
（Ⅱ）从该袋子中任取（每球取到的机会均等）1个球，记随机变量η为取出此球所得分数．若 Eη=¬53，Dη=59，求a∶b∶c．
【命题意图】本题考查随机事件的概率和随机变量的分布列、数学期望、数学方差等概念，同时考查抽象概括、运算求解能力和应用意识。
【答案解析】
（Ⅰ）由题意得
ξ=2，3，4，5，6
故
P(ξ=2)=3366=14，
P(ξ=3)=23266=13，
P(ξ=4)=231+2266=518，
P(ξ=5)=22166=19，
P(ξ=6)=1166=136，
所以ξ的分布列为
ξ23456
P14
13
518
19
136
（Ⅱ）由题意知η的分布列为
η123
Paa+b+c
ba+b+c
ca+b+c
所以
Eη=aa+b+c+2ba+b+c+3ca+b+c=53
Dη=1−532aa+b+c+2−532ba+b+c+3−532ca+b+c=59
化简得
2a−b−4c=0，a+4b−11c=0
解得a=3c，b=2c，故
a∶b∶c=3∶2∶1
20．（本题满分15分）如图，在四面体A−BCD中，AD平面BCD，BCCD，AD=2，BD=22．M是AD的中点，P是BM的中点，点Q在线段AC上，且AQ=3QC．
（Ⅰ）证明：PQ∥平面BCD；
（Ⅱ）若二面角C−BM−D的大小为60，求BDC的大小．
【命题意图】本题考查空间点、线、面位置关系，二面角等基础知识，空间向量的应用，同时考查空间想象能力和运算求解能力。
【答案解析】
（Ⅰ）取BD的中点O，在线段CD上取点F，使得DF=3FC，连接OP，OF，FQ．
因为AQ=3QC，所以
QF∥AD，且QF=14AD
因为O，P分别为BD，BM的中点，所以OP是△BDM的中位线，所以
OP∥DM，且OP=12DM
又点M是AD的中点，所以
OP∥AD，且OP=14AD
从而
OP∥FQ，且OP=FQ
所以四边形OPQF是平行四边形，故
PQ∥OF
又PQ平面BCD，OF平面BCD，所以
PQ∥平面BCD．
（Ⅱ）作CGBD于点G，作GHBM于点HG，连接CH，则CHBM，所以CHG为二面角的平面角。设BDC=θ．
在Rt△BCD中，
CD=BDcos θ=22cos θ，
CG=CDsin θ=22cos θsin θ，
BG=BCsin θ=22sin2θ
在Rt△BDM中，
HG=BGDMBM=22sin2θ3
在Rt△CHG中，
tanCHG=CGHG=3cos θsin θ=3
所以
tan =3
从而
=60
即BDC=60．
21．（本题满分15分）如图，点P(0，−1)是椭圆C1：x2a2+y2b2=1(a>b>0)的一个顶点，C1的长轴是圆C2：x2+y2=4的直径．l1，l2是过点P且互相垂直的两条直线，其中l1交圆C2于A，B两点，l2交椭圆C1于另一点D．
（Ⅰ）求椭圆C1的方程；
（Ⅱ）求△ABD面积取最大值时直线l1的方程．
【命题意图】本题考查椭圆的几何性质，直线与圆的位置关系，直线与椭圆的位置关系等基础知识，同时考查解析几何的基本思想方法和综合解题能力
【答案解析】
（Ⅰ）由题意得
b=1，a=2．
所以椭圆C的方程为
x24+y2=1．
（Ⅱ）设A(x1，y1)，B(x2，y2)，D(x0，y0)．由题意知直线l1的斜率存在，不妨设其为k，则直线l1的方程为
y=kx−1．
又圆C2：x2+y2=4，故点O到直线l1的距离
d=1k2+1 ，
所以
AB=24−d2=24k2+3k2+1 ．
又l1l2，故直线l2的方程为
x+ky+k=0．
由
x+ky+k=0， x24+y2=1．
消去y，整理得
(4+k2)x2+8kx=0
故
x0=−8k 4+k2．
所以
PD=8k2+14+k2．
设△ABD的面积为S，则
S=12ABPD=84k2+34+k2，
所以
S=324k2+3+134k2+33224k2+3 134k2+3=161313，
当且仅当k=±102时取等号
所以所求直线l1的方程为
y=±102x−1
22．（本题满分14分）已知aR，函数f(x)=x3−3x2+3ax−3a+3
（Ⅰ）求曲线y=f(x)在点(1，f(1))处的切线方程；
（Ⅱ）当x[0，2]时，求f(x)的最大值．
【命题意图】本题考查导数的几何意义，导数应用等基础知识，同时考查推理论证能力，分类讨论等分析问题和解决问题的能力
【答案解析】
（Ⅰ）由题意f (x)=3x2−6x+3a，故f (1)=3a−3．又f(1)=1，所以所求的切线方程为
y=(3a−3)x−3a+4
（Ⅱ）由于f (x)=3(x−1)2+3(a−1)，0x2．故
（?）当a0时，有f (x) 0，此时f(x)在[0，2]上单调递减，故
f(x)max=max{f(0)，f(2)}=3−3a
（?）当a1时，有f (x) 0，此时f(x)在[0，2]上单调递增，故
f(x)max=max{f(0)，f(2)}= 3a−1
（?）当0<a<1时，设x1=1−1−a，x2=1+1−a，则
0< x1< x2<2，f (x)=3(x− x1)(x− x2)
列表如下：
x0(0，x1)x1(x1，x2)x2(x2，2)2
f (x)+0−0+
f (x)3−3a单调递增极大值f (x1)单调递减极小值f (x2)单调递增3a−1
由于
f(x1)=1+2(1−a)1−a，f(x2)=1−2(1−a)1−a，
故
f(x1)+f(x2)=2>0，f(x1)f(x2)=4(1−a)1−a>0
从而
f(x1)> f(x2)．
所以
f(x)max=max{f(0)，f(2)，f(x1)}
（1）当0<a<23时，f(0)>f(2)．
又
f(x1)− f(0)=2(1−a)1−a−(2−3a)=a2(3−4a)2(1−a)1−a+2−3a>0
故
f(x)max= f(x1)=1+2(1−a)1−a．
（2）当23a<1时，f(2)=f(2)，且f(2)f(0)．
又
f(x1)− f(2)=2(1−a)1−a−( 3a −2)=a2(3−4a)2(1−a)1−a+ 3a −2
所以
①当23a<34时，f(x1)> f(2)．故
f(x)max= f(x1)=1+2(1−a)1−a．
②当34a<1时，f(x1) f(2)．故
f(x)max= f(2)= 3a−1．
综上所述，
f(x)max=3−3a， a0，1+2(1−a)1−a， 0<a<34，3a−1， a34．